[60 Pontos] Faça a discussão do sistema \left\{\begin{array}{l}x+2 y+z=5 \\\\ 2 x+5 y+z=12 \\\ x+\alpha y-4 z=\beta\end{array}\right., para valores de \alpha e \beta.
e pede a discussão do sistema para todos os valores de \alpha e \beta.
Informações relevantes fornecidas:
As três equações lineares com incógnitas x,y,z.
Parâmetros \alpha e \beta aparecem apenas na terceira equação.
Precisamos classificar os casos: sistema possível e determinado (uma solução), possível e indeterminado (infinitas soluções) ou impossível (nenhuma solução), dependendo de \alpha e \beta.]
Passo 2
Primeiro passo técnico: escrever a matriz dos coeficientes \,A, e a matriz aumentada \,[A|b]\,.
Conceito importante (rápida aula): se \det(A)\neq 0 então A é invertível e o sistema tem exatamente uma solução (usar inversa ou Cramer). Se \det(A)=0 então A é singular e pode haver ou infinitas soluções ou nenhuma — para decidir isso comparamos os postos (ranks) de A e de [A|b]: se \mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}([A|b])<3 então infinitas soluções; se \mathrm{rank}(A)<\mathrm{rank}([A|b]) então incompatível (sem solução).]
Passo 3
Calcular o determinante de A. Vou expandir por Laplace pela primeira linha (ou aplicar a regra de Sarrus estendida). Faço direto:
Se \alpha\neq 7 então \det(A)=\alpha-7\neq 0. Logo o sistema tem exatamente uma solução (é possível e determinado).
Se \alpha=7 então \det(A)=0. Nesse caso A é singular e precisamos investigar consistência (comparar \mathrm{rank}(A) e \mathrm{rank}([A|b])) para decidir entre infinitas soluções ou nenhuma solução.
Passo 5
Agora computar explicitamente a solução quando [\alpha\neq 7). Estratégia: usar as duas primeiras equações para expressar x e y em função de z e depois usar a terceira para determinar z. Isso é um método de eliminação simples e eficiente (evita frações longas de Cramer).
Se \alpha=7 e \beta\neq 15 então a terceira equação é 15=\beta que é falsa, logo o sistema é incompatível (não tem solução).
Se \alpha=7 e \beta=15 então a terceira equação é satisfeita automaticamente por quaisquer z que já satisfazem as duas primeiras; a terceira é redundante. Portanto existem infinitas soluções (1 grau de liberdade), e podemos parameterizar pela escolha de z.
Passo 7
Dar a forma paramétrica das soluções no caso \alpha=7,\\ \beta=15. Seja parâmetro t\in\mathbb{R} e tome z=t. Então, usando as fórmulas encontradas: