[60 Pontos] Faça a discussão do sistema \left\{\begin{array}{l}x+2 y+z=5 \\\\ 2 x+5 y+z=12 \\\ x+\alpha y-4 z=\beta\end{array}\right., para valores de \alpha e \beta.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} x+2y+z=5\\[4pt] 2x+5y+z=12\\[4pt] x+\alpha y-4z=\beta \end{cases}
e pede a discussão do sistema para todos os valores de \alpha e \beta.
Informações relevantes fornecidas:
  • As três equações lineares com incógnitas x,y,z.
  • Parâmetros \alpha e \beta aparecem apenas na terceira equação.
  • Precisamos classificar os casos: sistema possível e determinado (uma solução), possível e indeterminado (infinitas soluções) ou impossível (nenhuma solução), dependendo de \alpha e \beta.]

Passo 2

Primeiro passo técnico: escrever a matriz dos coeficientes \,A, e a matriz aumentada \,[A|b]\,.
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\[4pt] 2 & 5 & 1\\[4pt] 1 & \alpha & -4 \end{pmatrix},\qquad [A|b]=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 5\\[4pt] 2 & 5 & 1 & 12\\[4pt] 1 & \alpha & -4 & \beta \end{pmatrix}.
Conceito importante (rápida aula): se \det(A)\neq 0 então A é invertível e o sistema tem exatamente uma solução (usar inversa ou Cramer). Se \det(A)=0 então A é singular e pode haver ou infinitas soluções ou nenhuma — para decidir isso comparamos os postos (ranks) de A e de [A|b]: se \mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}([A|b])<3 então infinitas soluções; se \mathrm{rank}(A)<\mathrm{rank}([A|b]) então incompatível (sem solução).]

Passo 3

Calcular o determinante de A. Vou expandir por Laplace pela primeira linha (ou aplicar a regra de Sarrus estendida). Faço direto:
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}5 & 1\\[4pt]\alpha & -4\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & -4\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 5\\[4pt]1 & \alpha\end{pmatrix}.
Calculo cada menor:
\det\begin{pmatrix}5 & 1\\[4pt]\alpha & -4\end{pmatrix}=5(-4)-1\cdot\alpha=-20-\alpha,
\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & -4\end{pmatrix}=2(-4)-1\cdot1=-8-1=-9,
\det\begin{pmatrix}2 & 5\\[4pt]1 & \alpha\end{pmatrix}=2\alpha-5.
Substituindo:
\det(A)=(-20-\alpha)-2(-9)+(2\alpha-5)=(-20-\alpha)+18+2\alpha-5.
Agrupando termos:
\det(A)=(-20+18-5)+(-\alpha+2\alpha)=(-7)+\alpha=\alpha-7.]

Passo 4

Interpretação imediata do determinante:
  • Se \alpha\neq 7 então \det(A)=\alpha-7\neq 0. Logo o sistema tem exatamente uma solução (é possível e determinado).
  • Se \alpha=7 então \det(A)=0. Nesse caso A é singular e precisamos investigar consistência (comparar \mathrm{rank}(A) e \mathrm{rank}([A|b])) para decidir entre infinitas soluções ou nenhuma solução.

Passo 5

Agora computar explicitamente a solução quando [\alpha\neq 7). Estratégia: usar as duas primeiras equações para expressar x e y em função de z e depois usar a terceira para determinar z. Isso é um método de eliminação simples e eficiente (evita frações longas de Cramer).
Das duas primeiras equações:
\begin{cases} x+2y+z=5\\[4pt] 2x+5y+z=12 \end{cases}
faço 2\] vezes a primeira e subtraio a segunda ou elimino \(x. Mais direto: substituo x da primeira:
x=5-2y-z.
Substituo na segunda:
2(5-2y-z)+5y+z=12.
Desenvolvendo:
10-4y-2z+5y+z=12 \quad\Rightarrow\quad 10+y-z=12.
Logo
y-z=2 \quad\Rightarrow\quad y=z+2.
Substituo em x:
x=5-2(y)-z=5-2(z+2)-z=5-2z-4-z=1-3z.
Resumo até aqui (válido sempre, independentemente de \alpha):
x=1-3z,\qquad y=z+2.
Agora uso a terceira equação \,x+\alpha y-4z=\beta. Substituindo x e y:
(1-3z)+\alpha(z+2)-4z=\beta.
Agrupando termos:
1-3z+\alpha z+2\alpha-4z=\beta \quad\Rightarrow\quad ( \alpha-7)z+(1+2\alpha)=\beta.
Isolando z:
(\alpha-7)z=\beta-(1+2\alpha).
Como estamos no caso \alpha\neq 7, podemos dividir por \alpha-7 e obter
z=\dfrac{\beta-(1+2\alpha)}{\alpha-7}.
Em seguida
y=z+2=\dfrac{\beta-(1+2\alpha)}{\alpha-7}+2,
x=1-3z=1-3\cdot\dfrac{\beta-(1+2\alpha)}{\alpha-7}.
Estas expressões dão a solução única quando \alpha\neq 7. (Na prova, se quiser, pode simplificar as frações, mas essa forma é clara.)]

Passo 6

Agora tratar o caso \alpha=7. Então a terceira equação fica
x+7y-4z=\beta.
Lembrando que, pelas contas das duas primeiras equações, temos sempre (independente de \alpha):
x=1-3z,\qquad y=z+2.
Substituo essas expressões na terceira quando \alpha=7:
(1-3z)+7(z+2)-4z=\beta.
Calculo o lado esquerdo cuidadosamente:
1-3z+7z+14-4z = 1+14 +(-3+7-4)z = 15 + 0\cdot z = 15.
Então a terceira equação reduz-se à identidade
15=\beta.
Conclusão:
  • Se \alpha=7 e \beta\neq 15 então a terceira equação é 15=\beta que é falsa, logo o sistema é incompatível (não tem solução).
  • Se \alpha=7 e \beta=15 então a terceira equação é satisfeita automaticamente por quaisquer z que já satisfazem as duas primeiras; a terceira é redundante. Portanto existem infinitas soluções (1 grau de liberdade), e podemos parameterizar pela escolha de z.

Passo 7

Dar a forma paramétrica das soluções no caso \alpha=7,\\ \beta=15. Seja parâmetro t\in\mathbb{R} e tome z=t. Então, usando as fórmulas encontradas:
y=t+2,\qquad x=1-3t.
Em forma vetorial:
(x,y,z)=(1-3t,\;2+t,\;t)=(1,2,0)+t(-3,1,1),\qquad t\in\mathbb{R}.
Isto mostra claramente a família infinita de soluções: reta afim no espaço das incógnitas.

Passo 8

Resumo final dos casos (pronto para memorizar na prova):
  • \alpha\neq 7: sistema possível e determinado; solução única dada por
z=\dfrac{\beta-(1+2\alpha)}{\alpha-7},\qquad y=z+2,\qquad x=1-3z.
  • \alpha=7,\\ \beta=15: sistema possível e indeterminado; infinitas soluções parametricamente
(x,y,z)=(1-3t,\;2+t,\;t),\qquad t\in\mathbb{R}.
  • \alpha=7,\\ \beta\neq 15: sistema impossível (sem solução).

Resposta

Se \alpha\neq 7: única solução com
z=\dfrac{\beta-(1+2\alpha)}{\alpha-7},\quad y=z+2,\quad x=1-3z.
Se \alpha=7 e \beta=15: infinitas soluções (x,y,z)=(1-3t,\;2+t,\;t),\\ t\in\mathbb{R}.
Se \alpha=7 e \beta\neq 15: sistema sem solução.

Exercícios relacionados