[60 Pontos] Dê a equação da hipérbole de focos F(0, \pm 3) e distância entre os vértices d\left(V_{1}, V_{2}\right)=2. Represente-a graficamente.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Determinar a equação da hipérbole cujos focos são F(0,\pm 3) e cuja distância entre os vértices é d\big(V_{1},V_{2}\big)=2.
  • Representar essa hipérbole graficamente (isto é, indicar centro, vértices, focos, assíntotas e como desenhar os ramos).
Informações dadas:
  • Coordenadas dos focos: (0,3) e (0,-3).
  • Distância entre os vértices: d\big(V_{1},V_{2}\big)=2.

Passo 2

Interpretar as informações e extrair parâmetros básicos (sem resolver ainda): os focos estão sobre o eixo y e são simétricos em relação à origem, portanto o centro da hipérbole é o ponto médio entre os focos, isto é o ponto (0,0). Como os focos ficam no eixo y, o eixo transverso da hipérbole é vertical (os ramos abrem para cima e para baixo). Portanto a hipérbole tem a forma padrão (transversa vertical)
\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1.
Aqui vou explicar o que significam a, b e c:
  • a é o semi-eixo transverso: a distância do centro a cada vértice; os vértices são (0,\pm a).
  • b é o semi-eixo conjugado; os co-vértices são (\pm b,0).
  • c é a distância do centro a cada foco; os focos são (0,\pm c).
    Essas quantidades satisfazem a relação característica da hipérbole
c^{2}=a^{2}+b^{2}.

Passo 3

Determinar a a partir da distância entre os vértices. A distância entre V_{1} e V_{2} é 2a. Como o enunciado dá d\big(V_{1},V_{2}\big)=2, temos
2a=2 \quad\Rightarrow\quad a=1.
Portanto os vértices são (0,\pm 1).

Passo 4

Determinar c a partir dos focos dados. Os focos são (0,\pm 3), logo
c=3.
Agora usar a relação c^{2}=a^{2}+b^{2} para encontrar b^{2}. Substituindo a=1 e c=3:
3^{2}=1^{2}+b^{2}\quad\Rightarrow\quad 9=1+b^{2}\quad\Rightarrow\quad b^{2}=8.
Logo b=\sqrt{8}=2\sqrt{2} (positivo por definição).

Passo 5

Escrever a equação padrão com os valores obtidos. Como a^{2}=1 e b^{2}=8, a hipérbole transversa vertical é
\frac{y^{2}}{1}-\frac{x^{2}}{8}=1.
Pode-se também escrever de forma equivalente
y^{2}-\frac{x^{2}}{8}=1 \quad\text{ou}\quad \frac{y^{2}}{1}-\frac{x^{2}}{8}=1.

Passo 6

Confirmar e listar pontos e elementos importantes que ajudam a desenhar o gráfico:
  • Centro: (0,0).
  • Vértices: (0,\pm a)=(0,\pm 1).
  • Focos (dados): (0,\pm c)=(0,\pm 3).
  • Co-vértices: (\pm b,0)=\big(\pm 2\sqrt{2},0\big).
    Fazendo uma checagem rápida da relação entre a, b, c:
c^{2}=9,\qquad a^{2}+b^{2}=1+8=9,
portanto está consistente.

Passo 7

Encontrar as assíntotas (importantes para o esboço). Para a hipérbole na forma \dfrac{y^{2}}{a^{2}}-\dfrac{x^{2}}{b^{2}}=1 centrada na origem, as assíntotas são as retas
y=\pm\frac{a}{b}\,x.
Substituindo a=1 e b=2\sqrt{2} obtém-se
y=\pm\frac{1}{2\sqrt{2}}\,x.
Se preferir racionalizar a fração, tem-se \dfrac{1}{2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}, logo as assíntotas também podem ser escritas
y=\pm\frac{\sqrt{2}}{4}\,x.

Passo 8

Instruções práticas e passo a passo para esboçar a hipérbole (como desenhar na prova, sem calculadora):
  1. Marque o centro em (0,0).
  2. Marque os vértices em (0,1) e (0,-1).
  3. Marque os focos em (0,3) e (0,-3) (os dados do enunciado).
  4. Marque os co-vértices em \big(\pm 2\sqrt{2},0\big) para ter a largura do “retângulo guia”.
  5. Desenhe o retângulo central com cantos em \big(\pm 2\sqrt{2},\pm 1\big). As diagonais desse retângulo passam pelas assíntotas; por isso, trace as assíntotas pelas diagonais do retângulo (retas através da origem com inclinações \pm\dfrac{1}{2\sqrt{2}}).
  6. Desenhe os dois ramos da hipérbole abrindo para cima e para baixo: cada ramo passa pelo vértice correspondente e se aproxima das assíntotas quando |x| cresce.
    Dica visual: o ramo superior atravessa (0,1) e cresce em y aproximando-se da reta y=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}x à direita e de y=-\dfrac{1}{2\sqrt{2}}x à esquerda; o ramo inferior é simétrico por reflexão central.

Resposta

\displaystyle \frac{y^{2}}{1}-\frac{x^{2}}{8}=1
Centro: (0,0); vértices: (0,\pm 1); focos: (0,\pm 3); co-vértices: (\pm 2\sqrt{2},0); assíntotas: y=\pm\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\,x (ou y=\pm\dfrac{\sqrt{2}}{4}\,x).

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