[60 Pontos] Dê a equação da hipérbole de focos
e distância entre os vértices
. Represente-a graficamente.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Determinar a equação da hipérbole cujos focos são
e cuja distância entre os vértices é . - Representar essa hipérbole graficamente (isto é, indicar centro, vértices, focos, assíntotas e como desenhar os ramos).
Informações dadas:
- Coordenadas dos focos:
e . - Distância entre os vértices:
.
Passo 2
Interpretar as informações e extrair parâmetros básicos (sem resolver ainda): os focos estão sobre o eixo
e são simétricos em relação à origem, portanto o centro da hipérbole é o ponto médio entre os focos, isto é o ponto
. Como os focos ficam no eixo
, o eixo transverso da hipérbole é vertical (os ramos abrem para cima e para baixo). Portanto a hipérbole tem a forma padrão (transversa vertical)
Aqui vou explicar o que significam
,
e
:
-
é o semi-eixo transverso: a distância do centro a cada vértice; os vértices são . -
é o semi-eixo conjugado; os co-vértices são . -
é a distância do centro a cada foco; os focos são .
Essas quantidades satisfazem a relação característica da hipérbole
Passo 3
Determinar
a partir da distância entre os vértices. A distância entre
e
é
. Como o enunciado dá
, temos
Portanto os vértices são
.
Passo 4
Determinar
a partir dos focos dados. Os focos são
, logo
Agora usar a relação
para encontrar
. Substituindo
e
:
Logo
(positivo por definição).
Passo 5
Escrever a equação padrão com os valores obtidos. Como
e
, a hipérbole transversa vertical é
Pode-se também escrever de forma equivalente
Passo 6
Confirmar e listar pontos e elementos importantes que ajudam a desenhar o gráfico:
- Centro:
. - Vértices:
. - Focos (dados):
. - Co-vértices:
.
Fazendo uma checagem rápida da relação entre, , :
portanto está consistente.
Passo 7
Encontrar as assíntotas (importantes para o esboço). Para a hipérbole na forma
centrada na origem, as assíntotas são as retas
Substituindo
e
obtém-se
Se preferir racionalizar a fração, tem-se
, logo as assíntotas também podem ser escritas
Passo 8
Instruções práticas e passo a passo para esboçar a hipérbole (como desenhar na prova, sem calculadora):
- Marque o centro em
. - Marque os vértices em
e . - Marque os focos em
e (os dados do enunciado). - Marque os co-vértices em
para ter a largura do “retângulo guia”. - Desenhe o retângulo central com cantos em
. As diagonais desse retângulo passam pelas assíntotas; por isso, trace as assíntotas pelas diagonais do retângulo (retas através da origem com inclinações ). - Desenhe os dois ramos da hipérbole abrindo para cima e para baixo: cada ramo passa pelo vértice correspondente e se aproxima das assíntotas quando
cresce.
Dica visual: o ramo superior atravessae cresce em aproximando-se da reta à direita e de à esquerda; o ramo inferior é simétrico por reflexão central.
Resposta
Centro:
; vértices:
; focos:
; co-vértices:
; assíntotas:
(ou
).