(60%) Utilizando o MÉTODO DA DERIVAÇÃO DO VETOR POSIÇÃO, calcular a velocidade e aceleração do ponto E , no disco, sabendo que, neste instante, \omega_{1}=5 \mathrm{rad} / \mathrm{s}, aumentando a uma taxa de 3 \mathrm{rad} / \mathrm{s}^{2}, enquanto que \omega_{2}=10 \mathrm{rad} / \mathrm{s}, diminuindo a uma taxa de 2 \mathrm{rad} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

Temos duas hastes unidas por juntas universais em B. A haste BC (disco em C–H de raio 130 mm) gira em torno do eixo y com \omega_{1}=5,rad/s e \alpha_{1}=3,rad/ s^{2}. A haste BD (disco em D–E–F de raio 130 mm) gira em torno de si mesma com \omega_{2}=10,rad/s e \alpha_{2}=-2,rad/ s^{2}. Queremos a velocidade e a aceleração do ponto E no disco de BD, usando o método da derivação do vetor posição.

Passo 2

Escolhemos o ponto B como origem. No instante dado a haste BD coincide com o eixo x, e o ponto E está na “posição superior” do disco, a 130 mm acima de D. Convertendo para metros:
\mathbf{r}_{E/B} = \underbrace{0{,}25\,\mathbf{i}}_{\text{B\toD}} + \underbrace{0{,}13\,\mathbf{j}}_{\text{D\toE}}.

Passo 3

A velocidade angular total da haste BD é a soma da precessão em torno de y e da rotação em torno de si:
\boldsymbol{\omega} = \omega_{1}\,\mathbf{j} + \omega_{2}\,\mathbf{i} = 5\,\mathbf{j} + 10\,\mathbf{i} \quad(\text{rad/s}).
Para a aceleração angular usamos
\boldsymbol{\alpha} = \dot{\omega}_{1}\,\mathbf{j} + \dot{\omega}_{2}\,\mathbf{i} + \omega_{1}\,\mathbf{j}\times(\omega_{2}\,\mathbf{i}) =3\,\mathbf{j} + (-2)\,\mathbf{i} + (5\cdot10)\,(\mathbf{j}\times\mathbf{i}).
Como \mathbf{j}\times\mathbf{i}=-\mathbf{k}, vem
\boldsymbol{\alpha} = -2\,\mathbf{i} + 3\,\mathbf{j} -50\,\mathbf{k} \quad(\text{rad/s}^2).

Passo 4

A velocidade de E é
\mathbf{v}_{E} =\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}_{E/B} =(5\,\mathbf{j}+10\,\mathbf{i})\times(0{,}25\,\mathbf{i}+0{,}13\,\mathbf{j}).
Calculando os termos não nulos:
5\,\mathbf{j}\times0{,}25\,\mathbf{i} =1{,}25\,(-\mathbf{k}),\quad 10\,\mathbf{i}\times0{,}13\,\mathbf{j} =1{,}30\,\mathbf{k},
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\boxed{\mathbf{v}_{E}=0{,}05\,\mathbf{k}\quad(\text{m/s}).}

Passo 5

A aceleração de E é
\mathbf{a}_{E} =\boldsymbol{\alpha}\times\mathbf{r}_{E/B} +\boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}_{E/B}).
  1. Primeiro \boldsymbol{\alpha}\times\mathbf{r}_{E/B}:
(-2\,\mathbf{i}+3\,\mathbf{j}-50\,\mathbf{k}) \times(0{,}25\,\mathbf{i}+0{,}13\,\mathbf{j}) =6{,}5\,\mathbf{i}-12{,}5\,\mathbf{j}-1{,}01\,\mathbf{k}.
  1. Depois \boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}_{E/B}). Já vimos \boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}_{E/B}=\mathbf{v}_{E}=0{,}05\,\mathbf{k}, então
(5\,\mathbf{j}+10\,\mathbf{i}) \times(0{,}05\,\mathbf{k}) =0{,}25\,\mathbf{i}-0{,}50\,\mathbf{j}.
Somando:
\mathbf{a}_{E} =(6{,}5+0{,}25)\,\mathbf{i} +(-12{,}5-0{,}50)\,\mathbf{j} +(-1{,}01)\,\mathbf{k} =6{,}75\,\mathbf{i}-13{,}0\,\mathbf{j}-1{,}01\,\mathbf{k} \quad(\text{m/s}^2).

Resposta

\displaystyle \mathbf{v}_{E}=0{,}05\,\mathbf{k}\\ \mathrm{m/s},\quad \mathbf{a}_{E}=6{,}75\,\mathbf{i}-13{,}0\,\mathbf{j}-1{,}01\,\mathbf{k}\\ \mathrm{m/s}^2.

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