3^{\text {a }} questão ( 2,50 pontos): Uma caixa d’água de forma cilíndrica com capacidade para 1000 \mathrm{~m}^{3} deve ser suportada por um certo número de colunas de concreto. Cada coluna tem uma área transversal de 300 \mathrm{~cm}^{2} e uma altura de 5,0 \mathrm{~m}. Usando os dados abaixo, determine:
a) ( 0,50 ponto) O peso da água com a caixa cheia.
b) ( 1,50 ponto) O número de colunas necessário para suportar um peso 50 \% maior que o peso nominal da caixa d’água.
c) ( 0,50 ponto) A variação de altura das colunas causada pelo peso da caixa cheia.
Módulo de Young do concreto: 30 \mathrm{GN} / \mathrm{m}^{2}\left(30 \times 10^{9} \mathrm{~Pa}\right).
Tensão de Ruptura do concreto: 40 \mathrm{MN} / \mathrm{m}^{2}\left(40 \times 10^{6} \mathrm{~Pa}\right).
Densidade da água: 1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.
Densidade do concreto: 2500 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.

Passo 1

O enunciado descreve uma caixa d’água cilíndrica de volume V=1000\\ \mathrm{m}^3 cheia de água (densidade \rho_{\rm água}=1000\\ \mathrm{kg/m}^3á), apoiada em colunas de concreto (área A=300\\ \mathrm{cm}^2, altura L=5{,}0\\ \mathrm{m}). O módulo de Young do concreto é E=30\times10^9\\ \mathrm{Pa} e a tensão de ruptura é \sigma_{\rm rup}=40\times10^6\\ \mathrm{Pa}. Precisamos calcular:
a) o peso da água cheia,
b) o número de colunas para suportar 150\% do peso,
c) a deformação (variação de altura) das colunas sob o peso nominal.

Passo 2

Para achar o peso da água usamos primeiro a massa
m = \rho_{\rm água}\,V = 1000\\ \mathrm{kg/m}^3 \times 1000\\ \mathrm{m}^3 = 1{,}0\times10^6\\ \mathrm{kg}.á
Adotando g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}, o peso é
W = m\,g = 1{,}0\times10^6\\ \mathrm{kg}\times9{,}8\\ \mathrm{m/s^2} = 9{,}8\times10^6\\ \mathrm{N}.

Passo 3

Cada coluna suporta até
F_{\max} = \sigma_{\rm rup}\,A.
Convertendo A:
A = 300\\ \mathrm{cm}^2 = 300\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2 = 3{,}0\times10^{-2}\\ \mathrm{m}^2.
Logo
F_{\max} = 40\times10^6\\ \mathrm{Pa}\times3{,}0\times10^{-2}\\ \mathrm{m}^2 = 1{,}2\times10^6\\ \mathrm{N}.
Queremos colunas que suportem 150\% do peso, isto é, 1{,}5\,W. O número mínimo de colunas é
n = \frac{1{,}5\,W}{F_{\max}} = \frac{1{,}5\times9{,}8\times10^6\\ \mathrm{N}}{1{,}2\times10^6\\ \mathrm{N}} \approx12{,}25,
arredondando para cima, n=13 colunas.

Passo 4

A deformação axial de cada coluna sob o peso nominal W é dada por
\Delta L = \frac{P\,L}{A\,E},
onde a carga por coluna é
P = \frac{W}{n} = \frac{9{,}8\times10^6\\ \mathrm{N}}{13}\approx7{,}54\times10^5\\ \mathrm{N}.
Substituindo:
\Delta L = \frac{7{,}54\times10^5\\ \mathrm{N}\times5{,}0\\ \mathrm{m}} {3{,}0\times10^{-2}\\ \mathrm{m}^2\times30\times10^9\\ \mathrm{Pa}} \approx4{,}2\times10^{-3}\\ \mathrm{m} =4{,}2\\ \mathrm{mm}.

Resposta

a) W=9{,}8\times10^6\\ \mathrm{N}.
b) n=13 colunas.
c) \Delta L\approx4,2\\ \mathrm{mm}.

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