1.61

Indique como é possível construir um espelho que forneça sempre o mesmo foco para todos os raios que incidem paralelamente ao eixo do espelho (espelho sem aberração esférica).

Passo 1

O enunciado pede que se indique como construir um espelho que faça com que todos os raios que incidem paralelamente ao eixo do espelho sejam focados num único ponto (ou seja: espelho sem aberração esférica).
Informações/condições que vêm do enunciado (implícitas):
  • Os raios chegam paralelos ao eixo do espelho.
  • Queremos um único ponto de foco comum para todos esses raios.
  • A construção pode ser em revolução (espelho de superfície axissimétrica) para tratar fótons vindos em qualquer direção azimutal igualmente.

Passo 2

Relembrando uma lei física básica (a ferramenta que vamos usar): a lei da reflexão.
  • A lei da reflexão diz que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão, medidos em relação à normal à superfície no ponto de reflexão.
  • Em linguagem de vetores: se \mathbf{v}_{\text{in}} é a direção do raio incidente e \hat{\mathbf{n}} é o versor normal à superfície, então a direção refletida \mathbf{v}_{\text{r}} é
\mathbf{v}_{\text{r}}=\mathbf{v}_{\text{in}}-2(\mathbf{v}_{\text{in}}\cdot\hat{\mathbf{n}})\hat{\mathbf{n}}.
Explicação simples: a componente do vetor incidente ao longo da normal inverte de sinal; a tangencial permanece igual.

Passo 3

Por que um espelho esférico falha (intuição rápida)?
  • Em um espelho esférico, raios paralelos ao eixo mas que incidem longe do eixo não convergem exatamente no mesmo ponto do eixo que os raios próximos ao eixo. Isso é a chamada aberração esférica: a geometria da esfera não satisfaz a condição de reflexão que daria um único foco para todos os raios paralelos.
  • Conclusão prática: precisamos de uma curva especial cuja geometria faça os ângulos de reflexão levarem todos os raios paralelos ao mesmo ponto.

Passo 4

Apresentando a curva que resolve o problema: a parábola.
  • Definição geométrica: uma parábola é o lugar geométrico dos pontos que têm a mesma distância de um ponto fixo (o foco) e de uma reta fixa (a diretriz).
  • Escolhemos coordenadas de forma conveniente: tomemos o foco em (0,f) e a diretriz a reta y=-f. A parábola resultante tem equação
x^{2}=4f y,
ou equivalentemente
y=\frac{x^{2}}{4f}.
Aqui f>0 é a distância do vértice ao foco — o parâmetro que será o comprimento focal que desejamos. O eixo da parábola é o eixo y.

Passo 5

Mostrando matematicamente que uma parábola reflete raios paralelos ao eixo para o foco (prova direta, passo a passo e sem pular contas).
  1. Coordenadas do ponto genérico da parábola: P=(x,y) com y=\dfrac{x^{2}}{4f}.
  2. Derivada (declive) da parábola no ponto P:
\frac{dy}{dx}=y'=\frac{x}{2f}.
Uma direção tangente é \mathbf{t}=(1,y')=\Bigl(1,\frac{x}{2f}\Bigr). Uma normal (não normalizada) é então
\mathbf{n}=\bigl(-y',1\bigr)=\Bigl(-\frac{x}{2f},1\Bigr).
  1. Considere um raio incidente vindo de cima, paralelo ao eixo y e indo para baixo: a direção do raio incidente é
\mathbf{v}_{\text{in}}=(0,-1).
  1. Calcule produtos escalares que aparecem na fórmula de reflexão:
\mathbf{v}_{\text{in}}\cdot\mathbf{n}=(0,-1)\cdot\Bigl(-\frac{x}{2f},1\Bigr)=-1, \qquad \mathbf{n}\cdot\mathbf{n}=1+\frac{x^{2}}{4f^{2}}=\frac{4f^{2}+x^{2}}{4f^{2}}.
  1. Usando a fórmula vetorial de reflexão (com a normal não normalizada \mathbf{n}), obtém-se
\mathbf{v}_{\text{r}}=\mathbf{v}_{\text{in}}+2\frac{\mathbf{n}}{\mathbf{n}\cdot\mathbf{n}}.
Substituindo,
\mathbf{v}_{\text{r}} =(0,-1)+2\frac{\Bigl(-\dfrac{x}{2f},1\Bigr)}{\dfrac{4f^{2}+x^{2}}{4f^{2}}} =(0,-1)+\Bigl(-\dfrac{4fx}{4f^{2}+x^{2}},\dfrac{8f^{2}}{4f^{2}+x^{2}}\Bigr).
Fazendo a soma, obtemos (colocando numerador comum)
\mathbf{v}_{\text{r}}=\Bigl(-\dfrac{4fx}{4f^{2}+x^{2}},\dfrac{4f^{2}-x^{2}}{4f^{2}+x^{2}}\Bigr).
  1. Agora verifique que essa direção é proporcional ao vetor que vai do ponto P até o foco F=(0,f). Esse vetor é
\overrightarrow{PF}=F-P=\Bigl(-x,\;f-\frac{x^{2}}{4f}\Bigr)=\Bigl(-x,\;\frac{4f^{2}-x^{2}}{4f}\Bigr).
Multiplicando \overrightarrow{PF} por 4f dá exatamente (-4fx,\;4f^{2}-x^{2}), que é proporcional ao numerador de \mathbf{v}_{\text{r}}. Portanto \mathbf{v}_{\text{r}} é paralelo a \overrightarrow{PF}.
Conclusão dessa conta: o raio incidente paralelo ao eixo, ao atingir qualquer ponto P da parábola, reflete numa direção que passa exatamente pelo foco F. Isso prova a propriedade refletora da parábola.

Passo 6

Conclusão prática e construção do espelho: espelho parabólico (paraboloide de revolução).
  • O espelho desejado tem seção axial dada por uma parábola cujo foco é o ponto de foco desejado. Em 3D, gira-se essa parábola ao redor do seu eixo para obter um paraboloide de revolução: esse é o espelho que, para raios paralelos ao eixo, tem um único foco (sem aberração esférica).
  • Como construir na prática (passo a passo simples):
    1. Decida a distância focal f que se quer (distância do vértice ao foco). Marque o ponto F e a diretriz y=-f se for trabalhar com coordenadas.
    2. Gere pontos da parábola pela fórmula \displaystyle y=\frac{x^{2}}{4f}: para vários valores de x (positivos e negativos) calcule y e marque os pontos (x,y). Ligue suavemente esses pontos para desenhar a seção parabólica.
    3. Faça a revolução do perfil em torno do eixo (o eixo que passa pelo vértice e pelo foco) para obter a superfície do espelho. Em prática de oficina, usa-se moldes ou usinagem a partir do perfil.
    4. Alternativa geométrica: construir a parábola como o lugar geométrico (pontos equidistantes de um foco e de uma diretriz) traçando mediatrizes/compassos para vários x.
  • Observação de aplicação: isso é exatamente o princípio usado em antenas parabólicas, pratos de radar, espelhos de telescópios tipo refletor e faróis — todos aproveitam a propriedade parabólica para reunir raios paralelos num único ponto.
Força aí — com essa ideia, você já tem a receita matemática e prática para fabricar um espelho sem aberração para raios paralelos!

Resposta

Espelho parabólico (paraboloide de revolução), cuja seção axial é a parábola x^{2}=4f y (ou y=\dfrac{x^{2}}{4f}) com foco em (0,f).

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