Indique como é possível construir um espelho que forneça sempre o mesmo foco para todos os raios que incidem paralelamente ao eixo do espelho (espelho sem aberração esférica).
Passo 1
O enunciado pede que se indique como construir um espelho que faça com que todos os raios que incidem paralelamente ao eixo do espelho sejam focados num único ponto (ou seja: espelho sem aberração esférica).
Informações/condições que vêm do enunciado (implícitas):
Os raios chegam paralelos ao eixo do espelho.
Queremos um único ponto de foco comum para todos esses raios.
A construção pode ser em revolução (espelho de superfície axissimétrica) para tratar fótons vindos em qualquer direção azimutal igualmente.
Passo 2
Relembrando uma lei física básica (a ferramenta que vamos usar): a lei da reflexão.
A lei da reflexão diz que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão, medidos em relação à normal à superfície no ponto de reflexão.
Em linguagem de vetores: se \mathbf{v}_{\text{in}} é a direção do raio incidente e \hat{\mathbf{n}} é o versor normal à superfície, então a direção refletida \mathbf{v}_{\text{r}} é
Explicação simples: a componente do vetor incidente ao longo da normal inverte de sinal; a tangencial permanece igual.
Passo 3
Por que um espelho esférico falha (intuição rápida)?
Em um espelho esférico, raios paralelos ao eixo mas que incidem longe do eixo não convergem exatamente no mesmo ponto do eixo que os raios próximos ao eixo. Isso é a chamada aberração esférica: a geometria da esfera não satisfaz a condição de reflexão que daria um único foco para todos os raios paralelos.
Conclusão prática: precisamos de uma curva especial cuja geometria faça os ângulos de reflexão levarem todos os raios paralelos ao mesmo ponto.
Passo 4
Apresentando a curva que resolve o problema: a parábola.
Definição geométrica: uma parábola é o lugar geométrico dos pontos que têm a mesma distância de um ponto fixo (o foco) e de uma reta fixa (a diretriz).
Escolhemos coordenadas de forma conveniente: tomemos o foco em (0,f) e a diretriz a reta y=-f. A parábola resultante tem equação
x^{2}=4f y,
ou equivalentemente
y=\frac{x^{2}}{4f}.
Aqui f>0 é a distância do vértice ao foco — o parâmetro que será o comprimento focal que desejamos. O eixo da parábola é o eixo y.
Passo 5
Mostrando matematicamente que uma parábola reflete raios paralelos ao eixo para o foco (prova direta, passo a passo e sem pular contas).
Coordenadas do ponto genérico da parábola: P=(x,y) com y=\dfrac{x^{2}}{4f}.
Derivada (declive) da parábola no ponto P:
\frac{dy}{dx}=y'=\frac{x}{2f}.
Uma direção tangente é \mathbf{t}=(1,y')=\Bigl(1,\frac{x}{2f}\Bigr). Uma normal (não normalizada) é então
Multiplicando \overrightarrow{PF} por 4f dá exatamente (-4fx,\;4f^{2}-x^{2}), que é proporcional ao numerador de \mathbf{v}_{\text{r}}. Portanto \mathbf{v}_{\text{r}} é paralelo a \overrightarrow{PF}.
Conclusão dessa conta: o raio incidente paralelo ao eixo, ao atingir qualquer ponto P da parábola, reflete numa direção que passa exatamente pelo foco F. Isso prova a propriedade refletora da parábola.
Passo 6
Conclusão prática e construção do espelho: espelho parabólico (paraboloide de revolução).
O espelho desejado tem seção axial dada por uma parábola cujo foco é o ponto de foco desejado. Em 3D, gira-se essa parábola ao redor do seu eixo para obter um paraboloide de revolução: esse é o espelho que, para raios paralelos ao eixo, tem um único foco (sem aberração esférica).
Como construir na prática (passo a passo simples):
Decida a distância focal f que se quer (distância do vértice ao foco). Marque o ponto F e a diretriz y=-f se for trabalhar com coordenadas.
Gere pontos da parábola pela fórmula \displaystyle y=\frac{x^{2}}{4f}: para vários valores de x (positivos e negativos) calcule y e marque os pontos (x,y). Ligue suavemente esses pontos para desenhar a seção parabólica.
Faça a revolução do perfil em torno do eixo (o eixo que passa pelo vértice e pelo foco) para obter a superfície do espelho. Em prática de oficina, usa-se moldes ou usinagem a partir do perfil.
Alternativa geométrica: construir a parábola como o lugar geométrico (pontos equidistantes de um foco e de uma diretriz) traçando mediatrizes/compassos para vários x.
Observação de aplicação: isso é exatamente o princípio usado em antenas parabólicas, pratos de radar, espelhos de telescópios tipo refletor e faróis — todos aproveitam a propriedade parabólica para reunir raios paralelos num único ponto.
Força aí — com essa ideia, você já tem a receita matemática e prática para fabricar um espelho sem aberração para raios paralelos!
Resposta
Espelho parabólico (paraboloide de revolução), cuja seção axial é a parábola x^{2}=4f y (ou y=\dfrac{x^{2}}{4f}) com foco em (0,f).