1.58

Dispomos de duas lentes convergentes exatamente iguais. A distância focal de cada uma delas é igual a 50 cm . Que devemos fazer para focalizar os raios solares em um ponto situado aproximadamente 25 cm do vértice de uma das lentes?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (peguei estes dados diretamente do enunciado):
  • Existem duas lentes convergentes idênticas.
  • A distância focal de cada lente é \,50\\ \text{cm}\,.
  • Quer-se focalizar os raios solares (isto é, raios praticamente paralelos) num ponto situado aproximadamente a \,25\\ \text{cm}\, do vértice de uma das lentes.
O que o exercício pede:
  • Indicar o que devemos fazer (como arranjar/colocar as duas lentes) para que os raios solares sejam focalizados em um ponto a \,25\\ \text{cm}\, do vértice de uma das lentes.

Passo 2

Entendendo o que significa “distância focal” e por que raios solares (paralelos) se focam ali.
  • Definição prática: a distância focal de uma lente é a distância entre o vértice (aproximadamente) da lente e o ponto onde raios paralelos ao eixo óptico convergem após atravessarem a lente.
  • Para uma lente delgada, o comportamento básico é: raios paralelos vindos do infinito são focados no ponto que se chama foco, a uma distância igual à distância focal f da lente. Portanto, uma lente com \,f=50\\ \text{cm}\, sozinha foca raios paralelos a \,50\\ \text{cm}\, do vértice da lente.
  • Fórmula útil (para lembrar): a equação das lentes delgadas é
\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i},
onde \,d_o é a distância do objeto à lente e \,d_i é a distância da imagem à lente. Para um objeto no infinito (raios paralelos) tem-se \,d_o=\infty e, portanto, \,d_i=f.

Passo 3

Pensando em usar duas lentes para reduzir a distância focal efetiva.
  • Se colocarmos duas lentes, o conjunto atua como uma lente equivalente cuja “distância focal equivalente” pode ser diferente da de cada lente isolada.
  • Para duas lentes delgadas em contato (ou muito próximas, separação desprezível), há uma regra simples baseada na soma das potências: a potência óptica P de uma lente é \,P=\dfrac{1}{f}\, (unidade: dioptria quando f em metros). Para lentes em contato, as potências somam:
P_{\text{eq}}=P_1+P_2.
Em termos de focal:
\frac{1}{F}=\frac{1}{f_1}+\frac{1}{f_2},
onde \,F é a distância focal equivalente do par em contato.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso (lentes idênticas com \,f=50\\ \text{cm}\,).
  • Como as lentes são idênticas, \,f_1=f_2=50\\ \text{cm}.
  • Usando a fórmula para lentes em contato:
\frac{1}{F}=\frac{1}{50}+\frac{1}{50}=\frac{2}{50}=\frac{1}{25}.
  • Assim obtemos
F=25\\ \text{cm}.

Passo 5

Interpretação física e instrução prática simples.
  • Portanto, se as duas lentes forem colocadas muito próximas (idealmente em contato) e alinhadas coaxialmente (mesmo eixo óptico), o par comporta-se como uma lente única com distância focal equivalente \,F=25\\ \text{cm}\,.
  • Raios solares (paralelos) incidentes sobre esse par serão focalizados a \,25\\ \text{cm}\, do conjunto. Para uma lente delgada em contato, esse ponto fica aproximadamente a \,25\\ \text{cm}\, do vértice da lente (tomando como vértice o da face externa do par).

Passo 6

Observações práticas e limites da solução (para prova e montagem rápida).
  • Se não for possível colocar as lentes exatamente em contato mas elas ficarem separadas por uma pequena distância \,d, a fórmula geral para duas lentes separadas é
\frac{1}{F}=\frac{1}{f_1}+\frac{1}{f_2}-\frac{d}{f_1 f_2}.
Com \,f_1=f_2=50\\ \text{cm} isso vira \,\dfrac{1}{F}=\dfrac{2}{50}-\dfrac{d}{50^2}\,, o que mostra que qualquer separação positiva aumenta F (afasta o foco). Logo, para obter exatamente \,25\\ \text{cm}\, é preciso d=0 (ou o mais próximo possível disso).
  • Assuma sempre o modelo de lentes delgadas e aproximação para raios paraxiais (pequeno ângulo). Na prova, diga que as lentes são colocadas em contato e use a soma das potências como argumento.

Resposta

Colocar as duas lentes coaxialmente em contato (ou o mais próximas possível), formando uma lente equivalente com \,F=25\\ \text{cm}\,, de modo que os raios solares paralelos se focalizem a \,25\\ \text{cm}\, do vértice.

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