2-61 A 1.9-\mathrm{mm}-diameter tube is inserted into an unknown liquid whose density is 960 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, and it is observed that the liquid rises 5 mm in the tube, making a contact angle of 15^{\circ}. Determine the surface tension of the liquid.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a tensão superficial do líquido a partir da subida capilar observada. Dados fornecidos:
  • diâmetro do tubo: 1,9\\ \mathrm{mm},
  • densidade do líquido: \rho=960\\ \mathrm{kg/m^{3}},
  • altura de subida do líquido no tubo: h=5\\ \mathrm{mm},
  • ângulo de contato: \theta=15^\circ.

    Pergunta clara: determinar a tensão superficial \gamma do líquido usando esses dados.

Passo 2

Conceito físico (explicado devagar): a subida capilar acontece porque a força de tensão superficial ao longo do perímetro interno do tubo tem uma componente vertical que puxa o líquido para cima; em equilíbrio, essa força vertical é igual ao peso da coluna de líquido que subiu. Escrevendo essa igualdade:
\text{força vertical da tensão} = \text{peso da coluna de líquido}.çãí
Agora explico cada termo:
  • A força total de tensão ao longo da circunferência é 2\pi r \gamma, onde r é o raio interno do tubo e \gamma é a tensão superficial. Dessas, só a componente vertical (para cima) contribui, e essa componente é multiplicada por \cos\theta (porque \theta é o ângulo de contato entre líquido e parede). Logo a componente vertical é 2\pi r \gamma \cos\theta.
  • O peso da coluna de líquido de altura h e raio r é massa vezes gravidade: (\rho \pi r^{2} h) g, onde \rho é a densidade e g a aceleração da gravidade.
Igualando as duas forças em equilíbrio:
2\pi r \gamma \cos\theta = \rho \pi r^{2} h\, g.

Passo 3

Isolando \gamma na igualdade anterior (passo de álgebra simples):
\gamma = \frac{\rho\, g\, r\, h}{2\cos\theta}.
Aqui:
  • \gamma é a tensão superficial (unidade \mathrm{N/m}),
  • \rho é a densidade ( \mathrm{kg/m^{3}}),
  • g é a aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s^{2}}),
  • r é o raio do tubo (m),
  • h é a altura de subida (m),
  • \theta é o ângulo de contato.

Passo 4

Convertemos os dados para unidades SI e colocamos na fórmula:
  • diâmetro =1,9\\ \mathrm{mm} então raio r=\tfrac{1,9}{2}\\ \mathrm{mm}=0,95\\ \mathrm{mm}=0,95\times10^{-3}\\ \mathrm{m},
  • altura h=5\\ \mathrm{mm}=5\times10^{-3}\\ \mathrm{m},
  • densidade \rho=960\\ \mathrm{kg/m^{3}},
  • tomamos g=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}},
  • \theta=15^\circ.

Passo 5

Calculamos passo a passo os produtos do numerador \rho g r h.
Primeiro o produto r h:
r h = (0,95\times10^{-3})\times(5\times10^{-3}) = 4,75\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}}.
Multiplicando por g:
g r h = 9,81\times 4,75\times10^{-6} = 4,65975\times10^{-5}\\ (\mathrm{m^{2}/s^{2}}).
Agora multiplicando por \rho:
\rho g r h = 960\times 4,65975\times10^{-5} = 0,0447336\\ \mathrm{(kg/s^{2})}.
Observação de unidade: \mathrm{kg/s^{2}}=\mathrm{N/m}, então o numerador já está em unidades compatíveis com tensão superficial.

Passo 6

Calculamos o denominador 2\cos\theta e a divisão final. Primeiro a cosseno:
\cos15^\circ \approx 0,9659258.
Então
2\cos15^\circ \approx 1,9318516.
Agora dividimos:
\gamma = \frac{0,0447336}{1,9318516} \approx 0,023164\\ \mathrm{N/m}.
Arredondando razoavelmente para três algarismos significativos:
\gamma \approx 0,0232\\ \mathrm{N/m}.
Em unidades mais usuais de tensão superficial: 0,0232\\ \mathrm{N/m}=23,2\\ \mathrm{mN/m}.

Passo 7

Interpretação rápida (para te animar): esse valor \sim 23\\ \mathrm{mN/m} é bem menor que o da água pura à temperatura ambiente ( \approx72\\ \mathrm{mN/m}), então o líquido é provavelmente orgânico ou contém surfactantes — só uma curiosidade para você lembrar que o número faz sentido físico.

Resposta

\displaystyle 0,0232\\ \mathrm{N/m}=23,2\\ \mathrm{mN/m}

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