2-61 A
-diameter tube is inserted into an unknown liquid whose density is
, and it is observed that the liquid rises 5 mm in the tube, making a contact angle of
. Determine the surface tension of the liquid.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a tensão superficial do líquido a partir da subida capilar observada. Dados fornecidos:
- diâmetro do tubo:
, - densidade do líquido:
, - altura de subida do líquido no tubo:
, - ângulo de contato:
.
Pergunta clara: determinar a tensão superficialdo líquido usando esses dados.
Passo 2
Conceito físico (explicado devagar): a subida capilar acontece porque a força de tensão superficial ao longo do perímetro interno do tubo tem uma componente vertical que puxa o líquido para cima; em equilíbrio, essa força vertical é igual ao peso da coluna de líquido que subiu. Escrevendo essa igualdade:
Agora explico cada termo:
- A força total de tensão ao longo da circunferência é
, onde é o raio interno do tubo e é a tensão superficial. Dessas, só a componente vertical (para cima) contribui, e essa componente é multiplicada por (porque é o ângulo de contato entre líquido e parede). Logo a componente vertical é . - O peso da coluna de líquido de altura
e raio é massa vezes gravidade: , onde é a densidade e a aceleração da gravidade.
Igualando as duas forças em equilíbrio:
Passo 3
Isolando
na igualdade anterior (passo de álgebra simples):
Aqui:
-
é a tensão superficial (unidade ), -
é a densidade ( ), -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é o raio do tubo (m), -
é a altura de subida (m), -
é o ângulo de contato.
Passo 4
Convertemos os dados para unidades SI e colocamos na fórmula:
- diâmetro
então raio , - altura
, - densidade
, - tomamos
, -
.
Passo 5
Calculamos passo a passo os produtos do numerador
.
Primeiro o produto
:
Multiplicando por
:
Agora multiplicando por
:
Observação de unidade:
, então o numerador já está em unidades compatíveis com tensão superficial.
Passo 6
Calculamos o denominador
e a divisão final. Primeiro a cosseno:
Então
Agora dividimos:
Arredondando razoavelmente para três algarismos significativos:
Em unidades mais usuais de tensão superficial:
.
Passo 7
Interpretação rápida (para te animar): esse valor
é bem menor que o da água pura à temperatura ambiente (
), então o líquido é provavelmente orgânico ou contém surfactantes — só uma curiosidade para você lembrar que o número faz sentido físico.