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Sejam r e s duas retas paralelas distintas, distantes 6 cm uma da outra. Sobre s, há dois pontos fixos B e C, distintos, distando 5 cm um do outro. Um ponto A será escolhido na reta r.
O menor valor que o perímetro do triângulo A B C pode ter é
(A) 16 cm .
(B) 17 cm .
(C) 18 cm .
(D) 19 cm .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados:
    • As retas r e s são paralelas e a distância entre elas é 6\\ \text{cm}.
    • Os pontos B e C pertencem à reta s, são distintos e BC=5\\ \text{cm}.
    • O ponto A será escolhido sobre a reta r (ou seja, A pode variar ao longo de r).
  • Pedido:
    • Determinar o menor valor possível do perímetro do triângulo ABC, isto é, minimizar
    \text{Perímetro }=AB+BC+ACíquando A varia sobre r.

Passo 2

Estratégia e ideia chave (explicada passo a passo, sem pular etapas).
  • Queremos minimizar AB+AC+BC. O segmento BC é fixo e vale 5\\ \text{cm}, então basta minimizar AB+AC.
  • Uma técnica geométrica muito útil para problemas do tipo “minimizar soma de distâncias a um ponto variável numa reta” é a reflexão. Vou explicar a ideia de reflexão com calma:
    • Seja B' a imagem de B por reflexão em relação à reta r. A reflexão em uma reta significa: para cada ponto (aqui B), constrói-se um ponto B' do outro lado da reta r tal que a reta r é o lugar dos pontos médios do segmento BB'; em particular a distância de qualquer ponto A que esteja sobre r até B é igual à distância desse mesmo A até B'. Formalmente, para todo A\in r,
    AB = AB'.
    • Vou usar essa propriedade para transformar AB+AC em AB'+AC, que é uma soma de distâncias entre pontos fixos ( B' e C) passando por um ponto A que está sobre a reta r.

Passo 3

Aplicando a reflexão e o triângulo desigualdade (passo a passo aritmético e geométrico).
  • Pelo item anterior, para qualquer A\in r vale AB+AC = AB'+AC.
  • Pelo triângulo desigualdade (outra ideia básica: a soma das distâncias de um ponto A a dois pontos B' e C é sempre maior ou igual à distância direta entre esses dois pontos), AB'+AC \ge B'C,com igualdade se, e somente se, A estiver sobre o segmento [B'C] (isto é, se A estiver exatamente na linha reta que liga B' a C e entre eles).
  • Como B' é a reflexão de B em r e C está na reta s do outro lado, o segmento B'C cruza a reta r (porque as ordenadas y de C e B' estão numa extremidade e na outra; com uma distância vertical entre s e r igual a 6 e a reflexão leva B de y=0 a y=12, o segmento conecta pontos com y distintos). Portanto existe um ponto A\in r que é exatamente o ponto de interseção do segmento B'C com r, e então a igualdade é atingida para esse A.
  • Conclusão até aqui: o mínimo possível de AB+AC é exatamente a distância B'C.

Passo 4

Calcular a distância B'C usando a informação numérica (explicando cada termo).
  • Vamos traduzir a reflexão numericamente. Supondo que as retas sejam horizontais, com s em altura 0 e r em altura 6, então B e C têm a mesma coordenada vertical 0. A reflexão de B em relação a r coloca B' a uma distância 6 acima de r, isto é, a 6 acima de y=6, logo B' fica a y=12. Assim a diferença vertical entre B' e C é 12.
  • A diferença horizontal entre B' e C é a mesma que entre B e C, ou seja, 5.
  • Portanto B'C é a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos 5 e 12. Aplicando o teorema de Pitágoras (que diz que a hipotenusa ao quadrado é a soma dos quadrados dos catetos), temos B'C=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13.
  • Logo o mínimo possível de AB+AC é 13\\ \text{cm}.

Passo 5

Calcular o perímetro mínimo e concluir (passo a passo aritmético final).
  • O perímetro mínimo do triângulo ABC é AB+AC+BC = (\text{mínimo de }AB+AC) + BC = 13 + 5 = 18.í
  • Portanto o menor valor que o perímetro pode ter é 18\\ \text{cm}.

Resposta

18\\ \text{cm}

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