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Sejam
e
duas retas paralelas distintas, distantes 6 cm uma da outra. Sobre
, há dois pontos fixos
e
, distintos, distando 5 cm um do outro. Um ponto
será escolhido na reta
.
O menor valor que o perímetro do triângulo
pode ter é
(A) 16 cm .
(B) 17 cm .
(C) 18 cm .
(D) 19 cm .
O menor valor que o perímetro do triângulo
(A) 16 cm .
(B) 17 cm .
(C) 18 cm .
(D) 19 cm .
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados:
- As retas
e são paralelas e a distância entre elas é . - Os pontos
e pertencem à reta , são distintos e . - O ponto
será escolhido sobre a reta (ou seja, pode variar ao longo de ).
- As retas
- Pedido:
- Determinar o menor valor possível do perímetro do triângulo
, isto é, minimizar
quando varia sobre . - Determinar o menor valor possível do perímetro do triângulo
Passo 2
Estratégia e ideia chave (explicada passo a passo, sem pular etapas).
-
Queremos minimizar
. O segmento é fixo e vale , então basta minimizar . -
Uma técnica geométrica muito útil para problemas do tipo “minimizar soma de distâncias a um ponto variável numa reta” é a reflexão. Vou explicar a ideia de reflexão com calma:
- Seja
a imagem de por reflexão em relação à reta . A reflexão em uma reta significa: para cada ponto (aqui ), constrói-se um ponto do outro lado da reta tal que a reta é o lugar dos pontos médios do segmento ; em particular a distância de qualquer ponto que esteja sobre até é igual à distância desse mesmo até . Formalmente, para todo ,
- Vou usar essa propriedade para transformar
em , que é uma soma de distâncias entre pontos fixos ( e ) passando por um ponto que está sobre a reta .
- Seja
Passo 3
Aplicando a reflexão e o triângulo desigualdade (passo a passo aritmético e geométrico).
- Pelo item anterior, para qualquer
vale - Pelo triângulo desigualdade (outra ideia básica: a soma das distâncias de um ponto
a dois pontos e é sempre maior ou igual à distância direta entre esses dois pontos), com igualdade se, e somente se, estiver sobre o segmento (isto é, se estiver exatamente na linha reta que liga a e entre eles). - Como
é a reflexão de em e está na reta do outro lado, o segmento cruza a reta (porque as ordenadas y de e estão numa extremidade e na outra; com uma distância vertical entre e igual a e a reflexão leva de a , o segmento conecta pontos com distintos). Portanto existe um ponto que é exatamente o ponto de interseção do segmento com , e então a igualdade é atingida para esse . - Conclusão até aqui: o mínimo possível de
é exatamente a distância .
Passo 4
Calcular a distância
usando a informação numérica (explicando cada termo).
- Vamos traduzir a reflexão numericamente. Supondo que as retas sejam horizontais, com
em altura e em altura , então e têm a mesma coordenada vertical . A reflexão de em relação a coloca a uma distância acima de , isto é, a acima de , logo fica a . Assim a diferença vertical entre e é . - A diferença horizontal entre
e é a mesma que entre e , ou seja, . - Portanto
é a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos e . Aplicando o teorema de Pitágoras (que diz que a hipotenusa ao quadrado é a soma dos quadrados dos catetos), temos - Logo o mínimo possível de
é .
Passo 5
Calcular o perímetro mínimo e concluir (passo a passo aritmético final).
- O perímetro mínimo do triângulo
é - Portanto o menor valor que o perímetro pode ter é
.