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Em uma Progressão Aritmética \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}, \quad \boldsymbol{a}_{86}-\boldsymbol{a}_{24}=26.
A razão dessa sequência vale
(A) 13 / 31.
(B) 14 / 33.
(C) 15 / 34.
(D) 16 / 35.

Passo 1

O enunciado dá uma Progressão Aritmética e informa a diferença entre dois termos: \boldsymbol{a}_{86}-\boldsymbol{a}_{24}=26. A pergunta é: qual é a razão (o valor de d) dessa PA?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Está dada uma PA \left(a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}.
  • Sabemos que \,a_{86}-a_{24}=26.
  • Precisamos encontrar a razão d dessa PA (um único número).

Passo 2

Recordando a fórmula geral de uma Progressão Aritmética: o n-ésimo termo é dado por
a_n = a_1 + (n-1)d,
onde:
  • \,a_n é o termo de índice n,
  • \,a_1 é o primeiro termo da sequência,
  • \,d é a razão (diferença comum) da PA,
  • \,n é o índice do termo (um inteiro positivo).
Explicando em palavras: para avançar de um termo ao próximo numa PA, soma-se sempre d; portanto, para ir do primeiro termo a_1 até o termo a_n soma-se (n-1) vezes d.

Passo 3

Vamos escrever \,a_{86} e \,a_{24} usando a fórmula acima:
a_{86} = a_1 + 85d, \qquad a_{24} = a_1 + 23d.
Agora fazemos a subtração \,a_{86}-a_{24}. Perceba que o a_1 cancela:
a_{86}-a_{24} = (a_1+85d) - (a_1+23d) = 85d - 23d.

Passo 4

Continuando a simplificação da diferença:
85d - 23d = (85-23)d = 62d.
Portanto a relação dada pelo enunciado se traduz em
62d = 26.

Passo 5

Agora isolamos d dividindo ambos os lados por 62:
d = \frac{26}{62}.
Vamos simplificar essa fração. Dividindo numerador e denominador por 2:
\frac{26}{62} = \frac{13}{31}.

Passo 6

Verificação rápida (para ganhar confiança): calcular 62\cdot\dfrac{13}{31}. Como 62=2\cdot31, tem-se
62\cdot\frac{13}{31}=2\cdot13=26,
que é exatamente o dado do enunciado. A solução é consistente.

Resposta

(A) \dfrac{13}{31}

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