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Um corpo oscila, verticalmente, para cima e para baixo, preso à ponta inferior de uma mola, cuja ponta superior está atada ao teto de um laboratório. A partir do momento em que um cronômetro é acionado, a altura desse corpo
, em relação ao piso horizontal, é modelada pela função:
em que
é o tempo medido em segundos e
é medido em metros.
Com relação a esse movimento, é correto afirmar que
(A) a altura mínima atingida pelo corpo é
.
(B) quando o cronômetro foi acionado, o corpo estava a
do piso.
(C) a partir do acionamento do cronômetro, o corpo leva 2,5 segundos para atingir o ponto mais alto de sua oscilação.
(D) quando o cronômetro foi acionado, o corpo estava em movimento descendente.
(A) a altura mínima atingida pelo corpo é
(B) quando o cronômetro foi acionado, o corpo estava a
(C) a partir do acionamento do cronômetro, o corpo leva 2,5 segundos para atingir o ponto mais alto de sua oscilação.
(D) quando o cronômetro foi acionado, o corpo estava em movimento descendente.
Passo 1
O enunciado fornece a função que modela a altura do corpo em função do tempo:
onde
está em segundos e
em metros. As alternativas apresentam afirmações sobre essa oscilação e pedem para identificar qual é correta dentre (A), (B), (C) e (D).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A constante
é um deslocamento vertical (o valor médio da oscilação). - O coeficiente
é a amplitude da oscilação. - O argumento da senóide é dado em graus:
. Isso indica que a fase inicial é e a velocidade angular em graus por segundo é . - Perguntas implícitas que precisaremos responder para verificar as alternativas: qual é a altura mínima; qual é
; quanto tempo até o ponto mais alto a partir de ; e se no instante o corpo está subindo ou descendo.
Passo 2
Entender estrutura de uma função seno para movimentos oscilatórios (aula rápida e prática). Para uma função da forma
-
é o valor médio (eixo médio) da oscilação; aqui . -
é a amplitude; aqui . - A função
varia entre e . Portanto os extremos de são
Isto nos dá uma forma imediata de calcular o máximo e o mínimo sem ter que avaliar trigonometria complicada.
Passo 3
Calcular o valor mínimo usando a fórmula do passo anterior:
Portanto a altura mínima atingida pelo corpo é
. Conclusão parcial: a alternativa (A) que afirma mínimo igual a
é falsa.
Passo 4
Calcular a altura no instante em que o cronômetro foi acionado (
). Substituindo
na expressão:
Podemos usar a forma exata de
:
Assim
Logo
não é
. Conclusão parcial: a alternativa (B) é falsa.
Passo 5
Determinar o tempo até o ponto mais alto (aula rápida sobre máximos da senoide). A senoide atinge o máximo quando o valor dentro da função seno é um ângulo cujo seno vale
. Em graus, os ângulos com
são:
Queremos o menor
tal que
Para o primeiro máximo após
tomamos
. Assim:
Portanto, a partir do acionamento do cronômetro, o corpo leva
para atingir o ponto mais alto. Isso confirma a alternativa (C).
Passo 6
Verificar a direção do movimento em
(subida ou descida) usando a derivada (aula rápida sobre velocidade instantânea). A velocidade vertical é a derivada de
:
primeiro converte-se o argumento para radianos para derivar corretamente. Defina
primeiro converte-se o argumento para radianos para derivar corretamente. Defina
então
A derivada é
Como
, temos
No instante
,
logo
Sabendo que
e que os demais fatores são positivos, conclui-se que
. Isso significa que a altura está aumentando no instante
: o corpo está se movendo para cima (movimento ascendente), não descendente. Portanto a alternativa (D) é falsa.
Passo 7
Resumo das verificações:
- (A) falsa (o mínimo é
, não ). - (B) falsa (
, não ). - (C) verdadeira (tempo até o ponto mais alto:
). - (D) falsa (no instante
o corpo está subindo).
Resposta
C