58

Um corpo oscila, verticalmente, para cima e para baixo, preso à ponta inferior de uma mola, cuja ponta superior está atada ao teto de um laboratório. A partir do momento em que um cronômetro é acionado, a altura desse corpo H, em relação ao piso horizontal, é modelada pela função:
H(t)=3,4+2,6 \cdot \operatorname{sen}\left(15^{\circ}+30^{\circ} \times t\right)
em que t é o tempo medido em segundos e H é medido em metros.
Com relação a esse movimento, é correto afirmar que
(A) a altura mínima atingida pelo corpo é 1,8 \mathrm{~m}.
(B) quando o cronômetro foi acionado, o corpo estava a 3,4 \mathrm{~m} do piso.
(C) a partir do acionamento do cronômetro, o corpo leva 2,5 segundos para atingir o ponto mais alto de sua oscilação.
(D) quando o cronômetro foi acionado, o corpo estava em movimento descendente.

Passo 1

O enunciado fornece a função que modela a altura do corpo em função do tempo:
H(t)=3,4+2,6\cdot\operatorname{sen}\bigl(15^\circ+30^\circ\cdot t\bigr),
onde t está em segundos e H em metros. As alternativas apresentam afirmações sobre essa oscilação e pedem para identificar qual é correta dentre (A), (B), (C) e (D).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A constante 3,4 é um deslocamento vertical (o valor médio da oscilação).
  • O coeficiente 2,6 é a amplitude da oscilação.
  • O argumento da senóide é dado em graus: 15^\circ+30^\circ\cdot t. Isso indica que a fase inicial é 15^\circ e a velocidade angular em graus por segundo é 30^\circ/\text{s}.
  • Perguntas implícitas que precisaremos responder para verificar as alternativas: qual é a altura mínima; qual é H(0); quanto tempo até o ponto mais alto a partir de t=0; e se no instante t=0 o corpo está subindo ou descendo.

Passo 2

Entender estrutura de uma função seno para movimentos oscilatórios (aula rápida e prática). Para uma função da forma
H(t)=H_{\text{m}} + A\cdot\operatorname{sen}(\theta(t)),
  • H_{\text{m}} é o valor médio (eixo médio) da oscilação; aqui H_{\text{m}}=3,4.
  • A é a amplitude; aqui A=2,6.
  • A função \operatorname{sen}(\cdot) varia entre -1 e 1. Portanto os extremos de H(t) são
H_{\max}=H_{\text{m}}+A,\qquad H_{\min}=H_{\text{m}}-A.
Isto nos dá uma forma imediata de calcular o máximo e o mínimo sem ter que avaliar trigonometria complicada.

Passo 3

Calcular o valor mínimo usando a fórmula do passo anterior:
H_{\min}=3,4-2,6=0,8\\ \text{m}.
Portanto a altura mínima atingida pelo corpo é 0,8\\ \text{m}. Conclusão parcial: a alternativa (A) que afirma mínimo igual a 1,8\\ \text{m} é falsa.

Passo 4

Calcular a altura no instante em que o cronômetro foi acionado ( t=0). Substituindo t=0 na expressão:
H(0)=3,4+2,6\cdot\operatorname{sen}(15^\circ).
Podemos usar a forma exata de \operatorname{sen}(15^\circ):
\operatorname{sen}(15^\circ)=\operatorname{sen}(45^\circ-30^\circ)=\sen45^\circ\cos30^\circ-\cos45^\circ\sen30^\circ=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\approx0,2588.
Assim
H(0)\approx3,4+2,6\cdot0,2588\approx3,4+0,673\approx4,073\\ \text{m}.
Logo H(0) não é 3,4\\ \text{m}. Conclusão parcial: a alternativa (B) é falsa.

Passo 5

Determinar o tempo até o ponto mais alto (aula rápida sobre máximos da senoide). A senoide atinge o máximo quando o valor dentro da função seno é um ângulo cujo seno vale 1. Em graus, os ângulos com \operatorname{sen}=1 são:
90^\circ + 360^\circ\cdot k,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Queremos o menor t\ge0 tal que
15^\circ+30^\circ\cdot t = 90^\circ + 360^\circ\cdot k.
Para o primeiro máximo após t=0 tomamos k=0. Assim:
15^\circ+30^\circ\cdot t = 90^\circ \quad\Rightarrow\quad 30^\circ\cdot t = 75^\circ \quad\Rightarrow\quad t=\frac{75^\circ}{30^\circ}=2,5\\ \text{s}.
Portanto, a partir do acionamento do cronômetro, o corpo leva 2,5\\ \text{s} para atingir o ponto mais alto. Isso confirma a alternativa (C).

Passo 6

Verificar a direção do movimento em t=0 (subida ou descida) usando a derivada (aula rápida sobre velocidade instantânea). A velocidade vertical é a derivada de H(t):
primeiro converte-se o argumento para radianos para derivar corretamente. Defina
\theta(t)=\frac{\pi}{180}\bigl(15^\circ+30^\circ\cdot t\bigr),
então
H(t)=3,4+2,6\cdot\operatorname{sen}\bigl(\theta(t)\bigr).
A derivada é
H'(t)=2,6\cdot\cos\bigl(\theta(t)\bigr)\cdot\theta'(t).
Como \theta'(t)=\dfrac{\pi}{180}\cdot30^\circ=\dfrac{\pi}{6}, temos
H'(t)=2,6\cdot\frac{\pi}{6}\cdot\cos\bigl(\theta(t)\bigr).
No instante t=0,
\theta(0)=\frac{\pi}{180}\cdot15^\circ=\frac{\pi}{12},
logo
H'(0)=2,6\cdot\frac{\pi}{6}\cdot\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{12}\bigr).
Sabendo que \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{12}\bigr)=\cos15^\circ\approx0,9659>0 e que os demais fatores são positivos, conclui-se que H'(0)>0. Isso significa que a altura está aumentando no instante t=0: o corpo está se movendo para cima (movimento ascendente), não descendente. Portanto a alternativa (D) é falsa.

Passo 7

Resumo das verificações:
  • (A) falsa (o mínimo é 0,8\\ \text{m}, não 1,8\\ \text{m}).
  • (B) falsa ( H(0)\approx4,073\\ \text{m}, não 3,4\\ \text{m}).
  • (C) verdadeira (tempo até o ponto mais alto: 2,5\\ \text{s}).
  • (D) falsa (no instante t=0 o corpo está subindo).

Resposta

C

Exercícios relacionados