62 Se um corpo realiza um movimento no plano x y com velocidade instantânea descrita pela função
\vec{v}(t)=4 t^{2} \vec{i}+5 t \vec{j},
pode-se afirmar que
a) a velocidade instantânea é sempre paralela à aceleração instantânea.
b) o módulo da velocidade instantânea nunca é nulo.
c) a direção da velocidade instantânea é constante.
d) o módulo da aceleração instantânea nunca é nulo.
e) a aceleração instantânea é constante.

Passo 1

O enunciado dá a velocidade instantânea
\vec{v}(t)=4t^{2}\,\vec{i}+5t\,\vec{j}
no plano xy e pede para analisar cinco afirmações sobre a relação entre \vec{v}(t) e a aceleração \vec{a}(t), seus módulos e direções. Vamos usar:
– definição de aceleração como derivada da velocidade;
– condição de paralelismo de vetores;
– cálculo de módulo de vetor;
– dependência de direção em função de t.

Passo 2

Calcular a aceleração instantânea como derivada de \vec{v}(t):
\vec{a}(t)=\frac{d\vec{v}}{dt} =\frac{d}{dt}\bigl(4t^{2}\,\vec{i}+5t\,\vec{j}\bigr) =8t\,\vec{i}+5\,\vec{j}.

Passo 3

Verificar se \vec{v}(t) é sempre paralelo a \vec{a}(t). Para isto, checamos se existe escalar \lambda tal que
(4t^{2},\,5t)=\lambda\,(8t,\,5).
Isto exigiria
\frac{4t^{2}}{8t}=\frac{5t}{5}\quad\Longrightarrow\quad\frac{t}{2}=t,
que só vale para t=0. Logo, em geral não são paralelos, e a) é falsa.

Passo 4

Calcular o módulo da velocidade:
\|\vec{v}(t)\| =\sqrt{(4t^{2})^{2}+(5t)^{2}} =\sqrt{16t^{4}+25t^{2}} =|t|\sqrt{16t^{2}+25}.
Em t=0 isto vale zero, então o módulo pode ser nulo e b) é falsa.

Passo 5

Analisar se a direção de \vec{v}(t) é constante. O ângulo \theta(t) é dado por
\tan\theta(t)=\frac{5t}{4t^{2}}=\frac{5}{4t},
que muda com t. Portanto a direção não é constante e c) é falsa.

Passo 6

Calcular o módulo da aceleração:
\|\vec{a}(t)\| =\sqrt{(8t)^{2}+5^{2}} =\sqrt{64t^{2}+25}.
Como 64t^{2}+25\ge25>0 para todo t, o módulo de \vec{a}(t) nunca é nulo. Logo d) é verdadeira.

Passo 7

Verificar se \vec{a}(t) é constante. Como \vec{a}(t)=8t\,\vec{i}+5\,\vec{j} depende de t, não é constante, e e) é falsa.

Resposta

(d)

Exercícios relacionados