62 Uma onda senoidal transversal que se propaga no sentido positivo de um eixo
tem uma amplitude de
, um comprimento de onda de 10 cm e uma frequência de 400 Hz . Se a equação da onda é da forma
, determine (a)
, (b)
, (c)
e (d) o sinal que precede
. Qual é (e) a velocidade transversal máxima de um ponto da corda e (f) a velocidade da onda?
Passo 1
O enunciado nos dá uma onda senoidal transversal que se propaga no sentido positivo do eixo
. As informações fornecidas são:
- Amplitude:
. - Comprimento de onda:
. - Frequência:
. - A equação tem a forma
.
O que é pedido:
(a) determinar ;
(b) determinar o número de onda ;
(c) determinar a frequência angular ;
(d) decidir qual sinal ( ou
) precede
na forma dada;
(e) calcular a velocidade transversal máxima de um ponto da corda (velocidade vertical máxima);
(f) calcular a velocidade da onda (velocidade de propagação).
(a) determinar
(b) determinar o número de onda
(c) determinar a frequência angular
(d) decidir qual sinal (
(e) calcular a velocidade transversal máxima de um ponto da corda (velocidade vertical máxima);
(f) calcular a velocidade da onda (velocidade de propagação).
Passo importante: vou trabalhar em unidades do SI (metros, segundos) para velocidades e
; onde fizer sentido mantenho também os valores em centímetros para clareza.
Passo 2
(a) Amplitude
.
Explicação/mini-aula: amplitude é simplesmente o valor máximo do deslocamento vertical da onda, dado no enunciado. Não há cálculo aqui, só conversão de unidades se quisermos.
Dado: amplitude
. Em metros isso vale
Passo 3
(b) Número de onda
.
Explicação/mini-aula: o número de onda
mede quantos radianos de fase a onda ganha por unidade de comprimento. A relação entre o número de onda e o comprimento de onda
é
pois uma onda completa corresponde a
radianos em fase.
Dados:
. Portanto
Valor numérico aproximado:
Passo 4
(c) Frequência angular
.
Explicação/mini-aula: a frequência angular
é a taxa angular de variação temporal da fase, relacionada com a frequência
por
porque uma oscilação completa corresponde a
radianos.
Dado:
. Assim
Valor numérico aproximado:
Passo 5
(d) Determinar o sinal que precede
(ou seja, escolher entre
ou
).
Explicação/mini-aula e raciocínio passo a passo:
- A forma geral de uma onda progressiva que se move com velocidade
no sentido positivo de pode ser escrita como . Isso porque com ; mantendo a fase constante dá , ou seja, picos se deslocam para valores maiores de quando aumenta. - Se usássemos
então, para fase constante , teríamos , ou seja, a crista se deslocaria para valores menores de (sentido negativo).
Como o enunciado diz que a onda se propaga no sentido positivo de
, a forma correta é
Portanto o sinal que precede
é o sinal negativo.
Passo 6
(e) Velocidade transversal máxima (velocidade vertical máxima) de um ponto da corda.
Explicação/mini-aula: a velocidade transversal de um ponto fixo da corda (em posição
fixa) é a derivada temporal do deslocamento:
Para
temos, diferenciando em relação a
:
A velocidade transversal máxima em módulo ocorre quando
, logo o valor máximo absoluto é
Agora calculamos numericamente usando
e
:
Observação prática: embora pareça grande, é possível quando a frequência é alta mesmo com pequena amplitude.
Passo 7
(f) Velocidade da onda (velocidade de propagação).
Explicação/mini-aula: a velocidade de propagação
de uma onda senoidal relaciona-se com
e
por
Também é comum usar
, porque
e
dão
.
Usando
e
:
Verificação com
:
mesmo resultado.
Passo 8
Resumo rápido e incentivo: você já tem todas as fórmulas básicas para ondas senoidais:
,
, sinal negativo para onda indo em
, velocidade transversal máxima
e velocidade de propagação
. Mandou bem por chegar até aqui — repete esses passos com outros valores e pega prática!
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) o sinal é o negativo:
(e)
(f)
(b)
(c)
(d) o sinal é o negativo:
(e)
(f)