62 Uma onda senoidal transversal que se propaga no sentido positivo de um eixo x tem uma amplitude de 2,0 \mathrm{~cm}, um comprimento de onda de 10 cm e uma frequência de 400 Hz . Se a equação da onda é da forma y(x, t)=y_{m} \operatorname{sen}(k x \pm \omega t), determine (a) y_{m}, (b) k, (c) \omega e (d) o sinal que precede \omega. Qual é (e) a velocidade transversal máxima de um ponto da corda e (f) a velocidade da onda?

Passo 1

O enunciado nos dá uma onda senoidal transversal que se propaga no sentido positivo do eixo x. As informações fornecidas são:
  • Amplitude: 2,0\\ \text{cm}.
  • Comprimento de onda: 10\\ \text{cm}.
  • Frequência: 400\\ \text{Hz}.
  • A equação tem a forma y(x,t)=y_{m}\operatorname{sen}(kx\pm\omega t).
O que é pedido:
(a) determinar y_{m};
(b) determinar o número de onda k;
(c) determinar a frequência angular \omega;
(d) decidir qual sinal ( + ou -) precede \omega na forma dada;
(e) calcular a velocidade transversal máxima de um ponto da corda (velocidade vertical máxima);
(f) calcular a velocidade da onda (velocidade de propagação).
Passo importante: vou trabalhar em unidades do SI (metros, segundos) para velocidades e \omega,k; onde fizer sentido mantenho também os valores em centímetros para clareza.

Passo 2

(a) Amplitude y_{m}.
Explicação/mini-aula: amplitude é simplesmente o valor máximo do deslocamento vertical da onda, dado no enunciado. Não há cálculo aqui, só conversão de unidades se quisermos.
Dado: amplitude 2,0\\ \text{cm}. Em metros isso vale
y_{m}=2,0\\ \text{cm}=0,020\\ \text{m}.

Passo 3

(b) Número de onda k.
Explicação/mini-aula: o número de onda k mede quantos radianos de fase a onda ganha por unidade de comprimento. A relação entre o número de onda e o comprimento de onda \lambda é
k=\frac{2\pi}{\lambda},
pois uma onda completa corresponde a 2\pi radianos em fase.
Dados: \lambda=10\\ \text{cm}=0,10\\ \text{m}. Portanto
k=\frac{2\pi}{0,10}=20\pi\\ \text{rad/m}.
Valor numérico aproximado:
k\approx 20\pi\approx 62{,}832\\ \text{rad/m}.

Passo 4

(c) Frequência angular \omega.
Explicação/mini-aula: a frequência angular \omega é a taxa angular de variação temporal da fase, relacionada com a frequência f por
\omega=2\pi f,
porque uma oscilação completa corresponde a 2\pi radianos.
Dado: f=400\\ \text{Hz}. Assim
\omega=2\pi\cdot 400=800\pi\\ \text{rad/s}.
Valor numérico aproximado:
\omega\approx 800\pi\approx 2513{,}274\\ \text{rad/s}.

Passo 5

(d) Determinar o sinal que precede \omega (ou seja, escolher entre kx-\omega t ou kx+\omega t).
Explicação/mini-aula e raciocínio passo a passo:
  • A forma geral de uma onda progressiva que se move com velocidade v no sentido positivo de x pode ser escrita como y(x,t)=f(kx-\omega t). Isso porque kx-\omega t=k(x-vt) com v=\omega/k; mantendo a fase constante kx-\omega t=\text{const} x=vt+\text{const}, ou seja, picos se deslocam para valores maiores de x quando t aumenta.
  • Se usássemos kx+\omega t então, para fase constante kx+\omega t=\text{const}, teríamos x=-vt+\text{const}, ou seja, a crista se deslocaria para valores menores de x (sentido negativo).
Como o enunciado diz que a onda se propaga no sentido positivo de x, a forma correta é
y(x,t)=y_{m}\operatorname{sen}(kx-\omega t).
Portanto o sinal que precede \omega é o sinal negativo.

Passo 6

(e) Velocidade transversal máxima (velocidade vertical máxima) de um ponto da corda.
Explicação/mini-aula: a velocidade transversal de um ponto fixo da corda (em posição x fixa) é a derivada temporal do deslocamento:
v_{y}(x,t)=\frac{\partial y}{\partial t}.
Para y(x,t)=y_{m}\operatorname{sen}(kx-\omega t) temos, diferenciando em relação a t:
v_{y}(x,t)=\frac{\partial}{\partial t}\bigl(y_{m}\operatorname{sen}(kx-\omega t)\bigr) = -y_{m}\omega\cos(kx-\omega t).
A velocidade transversal máxima em módulo ocorre quando |\cos(kx-\omega t)|=1, logo o valor máximo absoluto é
|v_{y}|_{\max}=y_{m}\,\omega.
Agora calculamos numericamente usando y_{m}=0,020\\ \text{m} e \omega=800\pi\\ \text{rad/s}:
|v_{y}|_{\max}=0,020\cdot 800\pi=16\pi\\ \text{m/s}\approx 50{,}265\\ \text{m/s}.
Observação prática: embora pareça grande, é possível quando a frequência é alta mesmo com pequena amplitude.

Passo 7

(f) Velocidade da onda (velocidade de propagação).
Explicação/mini-aula: a velocidade de propagação v de uma onda senoidal relaciona-se com \omega e k por
v=\frac{\omega}{k}.
Também é comum usar v=f\lambda, porque f=\omega/(2\pi) e \lambda=2\pi/k dão v=f\lambda.
Usando f=400\\ \text{Hz} e \lambda=0,10\\ \text{m}:
v=f\lambda=400\cdot 0,10=40\\ \text{m/s}.
Verificação com \omega/k:
v=\frac{\omega}{k}=\frac{800\pi}{20\pi}=40\\ \text{m/s},
mesmo resultado.

Passo 8

Resumo rápido e incentivo: você já tem todas as fórmulas básicas para ondas senoidais: k=2\pi/\lambda, \omega=2\pi f, sinal negativo para onda indo em +x, velocidade transversal máxima y_{m}\omega e velocidade de propagação v=f\lambda=\omega/k. Mandou bem por chegar até aqui — repete esses passos com outros valores e pega prática!

Resposta

(a) y_{m}=2{,}0\\ \text{cm}=0{,}020\\ \text{m}
(b) k=\dfrac{2\pi}{\lambda}=20\pi\\ \text{rad/m}\approx 62{,}832\\ \text{rad/m}
(c) \omega=2\pi f=800\pi\\ \text{rad/s}\approx 2513{,}274\\ \text{rad/s}
(d) o sinal é o negativo: y(x,t)=y_{m}\operatorname{sen}(kx-\omega t)
(e) |v_{y}|_{\max}=y_{m}\omega=16\pi\\ \text{m/s}\approx 50{,}265\\ \text{m/s}
(f) v=f\lambda=40\\ \text{m/s}

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