1 (Movimento em uma dimensão - 2,5 pontos) Um balão de ar quente está subindo a uma taxa de
e está a
acima do solo quando um tripulante deixa cair uma pedra.
(a) Quanto tempo a pedra leva para atingir o solo?
(b) Qual a velocidade da pedra ao atingir o solo?
(a) Quanto tempo a pedra leva para atingir o solo?
(b) Qual a velocidade da pedra ao atingir o solo?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Quanto tempo a pedra leva para atingir o solo?
- (b) Qual a velocidade da pedra ao atingir o solo?
Informações dadas no enunciado:
- A altura inicial do balão (e da pedra no instante da queda) é
. - A pedra é largada com a velocidade inicial igual à do balão:
para cima (ou seja, sentido positivo para cima). - A pedra sofre aceleração da gravidade apontando para baixo, com módulo
. Usaremos .
Passo 2
Escolhemos um eixo vertical com origem no solo (
no solo) e sentido positivo para cima. Neste sistema:
- A posição inicial é
. - A velocidade inicial é
(positiva porque é para cima). - A aceleração é
.
Vamos usar a equação do movimento retilíneo uniformemente acelerado para a posição em função do tempo:
Nessa fórmula:
-
é a posição vertical no instante , -
é a posição inicial, -
é a velocidade inicial, -
é a aceleração gravitacional (positiva no valor, o sinal negativo já aparece na fórmula), -
é o tempo transcorrido desde a queda.
A pedra atinge o solo quando
. Substituímos e resolvemos para
.
Passo 3
Escrevendo a condição
:
Reorganizando para a forma padrão da equação quadrática:
Multiplicando por
para simplificar coeficientes:
Esta é uma equação quadrática em
do tipo
com
Passo 4
A fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) para
é
Aplicando aqui:
Existem duas raízes: uma positiva (tempo físico após a queda) e uma negativa (raízes matemáticas sem significado físico aqui). Tomamos a raiz com o sinal
na soma porque ela dá
:
Passo 5
Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro calculamos o discriminante dentro da raiz:
Calculando passo a passo:
Somando,
A raiz quadrada é
Passo 6
Agora o tempo:
Portanto o tempo de queda é aproximadamente
.
Passo 7
Para a velocidade ao atingir o solo usamos a equação da velocidade no MUA:
Substituindo
e os valores:
Calculando:
Arredondando razoavelmente:
O sinal negativo indica que a velocidade está dirigida para baixo no instante do impacto. Note que esse valor em módulo é igual à raiz que calculamos antes (
), o que é consistente com a relação cinemática independente do tempo.
Passo 8
Resumo rápido e encorajamento: demorou um pouco para montar o quadrado, mas a ideia é sempre a mesma — escolher um eixo, escrever a equação de posição, resolver a quadrática para achar
e então usar a equação da velocidade. Você já consegue aplicar isso em outros problemas parecidos; se quiser, eu te mostro mais exemplos parecidos para treinar.
Resposta
(a)
(b)
(b)