1 (Movimento em uma dimensão - 2,5 pontos) Um balão de ar quente está subindo a uma taxa de 18 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e está a 80 m acima do solo quando um tripulante deixa cair uma pedra.
(a) Quanto tempo a pedra leva para atingir o solo?
(b) Qual a velocidade da pedra ao atingir o solo?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Quanto tempo a pedra leva para atingir o solo?
  • (b) Qual a velocidade da pedra ao atingir o solo?
Informações dadas no enunciado:
  • A altura inicial do balão (e da pedra no instante da queda) é \,80\\ \mathrm{m}.
  • A pedra é largada com a velocidade inicial igual à do balão: \,v_0=18\\ \mathrm{m/s} para cima (ou seja, sentido positivo para cima).
  • A pedra sofre aceleração da gravidade apontando para baixo, com módulo \,g. Usaremos \,g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 2

Escolhemos um eixo vertical com origem no solo ( y=0 no solo) e sentido positivo para cima. Neste sistema:
  • A posição inicial é \,y_0=80\\ \mathrm{m}.
  • A velocidade inicial é \,v_0=18\\ \mathrm{m/s} (positiva porque é para cima).
  • A aceleração é \,a=-g=-9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}.
Vamos usar a equação do movimento retilíneo uniformemente acelerado para a posição em função do tempo:
y(t)=y_0 + v_0 t - \tfrac{1}{2} g t^2.
Nessa fórmula:
  • \,y(t) é a posição vertical no instante t,
  • \,y_0 é a posição inicial,
  • \,v_0 é a velocidade inicial,
  • \,g é a aceleração gravitacional (positiva no valor, o sinal negativo já aparece na fórmula),
  • \,t é o tempo transcorrido desde a queda.
A pedra atinge o solo quando \,y(t)=0. Substituímos e resolvemos para t.

Passo 3

Escrevendo a condição \,y(t)=0:
0 = y_0 + v_0 t - \tfrac{1}{2} g t^2.
Reorganizando para a forma padrão da equação quadrática:
\tfrac{1}{2} g t^2 - v_0 t - y_0 = 0.
Multiplicando por 2 para simplificar coeficientes:
g t^2 - 2 v_0 t - 2 y_0 = 0.
Esta é uma equação quadrática em t do tipo A t^2 + B t + C = 0 com
A=g,\quad B=-2v_0,\quad C=-2y_0.

Passo 4

A fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) para A t^2 + B t + C = 0 é
t=\frac{-B\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2A}.
Aplicando aqui:
t=\frac{2v_0 \pm \sqrt{(2v_0)^2 + 8 g y_0}}{2g} = \frac{v_0 \pm \sqrt{v_0^2 + 2 g y_0}}{g}.
Existem duas raízes: uma positiva (tempo físico após a queda) e uma negativa (raízes matemáticas sem significado físico aqui). Tomamos a raiz com o sinal + na soma porque ela dá t>0:
t=\frac{v_0 + \sqrt{v_0^2 + 2 g y_0}}{g}.

Passo 5

Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro calculamos o discriminante dentro da raiz:
v_0^2 + 2 g y_0 = 18^2 + 2\cdot 9{,}8 \cdot 80.
Calculando passo a passo:
18^2 = 324,
2\cdot 9{,}8 \cdot 80 = 19{,}6 \cdot 80 = 1568.
Somando,
v_0^2 + 2 g y_0 = 324 + 1568 = 1892.
A raiz quadrada é
\sqrt{1892}\approx 43{,}50\quad(\text{aproximação com duas casas significativas}).çã

Passo 6

Agora o tempo:
t=\frac{v_0 + \sqrt{v_0^2 + 2 g y_0}}{g} = \frac{18 + 43{,}50}{9{,}8} = \frac{61{,}50}{9{,}8}\approx 6{,}28\\ \mathrm{s}.
Portanto o tempo de queda é aproximadamente \,6{,}28\\ \mathrm{s}.

Passo 7

Para a velocidade ao atingir o solo usamos a equação da velocidade no MUA:
v(t)=v_0 - g t.
Substituindo t e os valores:
v_{\text{final}} = 18 - 9{,}8\cdot 6{,}28.
Calculando:
9{,}8\cdot 6{,}28 \approx 61{,}55,
v_{\text{final}} \approx 18 - 61{,}55 = -43{,}55\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando razoavelmente:
v_{\text{final}}\approx -43{,}5\\ \mathrm{m/s}.
O sinal negativo indica que a velocidade está dirigida para baixo no instante do impacto. Note que esse valor em módulo é igual à raiz que calculamos antes ( \sqrt{v_0^2+2g y_0}), o que é consistente com a relação cinemática independente do tempo.

Passo 8

Resumo rápido e encorajamento: demorou um pouco para montar o quadrado, mas a ideia é sempre a mesma — escolher um eixo, escrever a equação de posição, resolver a quadrática para achar t e então usar a equação da velocidade. Você já consegue aplicar isso em outros problemas parecidos; se quiser, eu te mostro mais exemplos parecidos para treinar.

Resposta

(a) t \approx 6{,}28\\ \mathrm{s}
(b) v \approx -43{,}5\\ \mathrm{m/s}

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