62 Se tem uma esfera oca de raio
e em seu interior outra esfera de raio
. Determine a razão
entre os raios para que o volume da parte interna não varie com o aumento da temperatura do sistema. A relação dos coeficientes de dilatação linear das esferas é
.
Passo 1
O enunciado dá uma esfera oca (casca esférica) de raio externo
e, no seu interior, outra esfera sólida de raio
. A relação dos coeficientes de dilatação linear é
.
A pergunta é: determinar a razão tal que o volume da região interna (o volume entre as duas esferas) não varie quando a temperatura do sistema aumenta.
Informações relevantes dadas:
A pergunta é: determinar a razão
Informações relevantes dadas:
- Raio externo:
. - Raio da esfera interna:
. - Coeficientes de dilatação linear:
. - Queremos que a variação do volume entre as esferas com a temperatura seja nula.
Passo 2
Explicando dilatação linear (fórmula e interpretação): o coeficiente de dilatação linear
relaciona a variação do comprimento com a variação de temperatura. Para um comprimento
dependente da temperatura
, para variações pequenas de temperatura vale aproximadamente
Em forma diferencial isso vira
Aplicando isso aos raios: as taxas de variação dos raios com a temperatura são
Aqui
e
são os coeficientes lineares das duas esferas, e
e
são os raios instantâneos.
Passo 3
Escrevendo o volume da região interna (o “vão” entre as esferas): o volume entre as duas esferas é a diferença entre o volume da esfera de raio
e o volume da esfera de raio
:
Queremos que esse volume não varie com a temperatura, ou seja, que
Passo 4
Calculando a derivada
usando a regra da cadeia (e lembrando que
e
são constantes):
Simplificando os fatores
:
Agora substituímos
e
:
Passo 5
Impondo a condição de volume constante
, obtemos
Isolando a razão
:
Passo 6
Agora substituímos a relação dada
:
Tirando a raiz cúbica dos dois lados:
Portanto a razão procurada é
. (Observação: usamos a aproximação da dilatação linear válida para variações pequenas de temperatura.)