62 Se tem uma esfera oca de raio (R) e em seu interior outra esfera de raio (r). Determine a razão (R / r) entre os raios para que o volume da parte interna não varie com o aumento da temperatura do sistema. A relação dos coeficientes de dilatação linear das esferas é \alpha_{r}=8 \alpha_{R}.

Passo 1

O enunciado dá uma esfera oca (casca esférica) de raio externo R e, no seu interior, outra esfera sólida de raio r. A relação dos coeficientes de dilatação linear é \alpha_{r}=8\alpha_{R}.
A pergunta é: determinar a razão \dfrac{R}{r} tal que o volume da região interna (o volume entre as duas esferas) não varie quando a temperatura do sistema aumenta.
Informações relevantes dadas:
  • Raio externo: R.
  • Raio da esfera interna: r.
  • Coeficientes de dilatação linear: \alpha_{r}=8\alpha_{R}.
  • Queremos que a variação do volume entre as esferas com a temperatura seja nula.

Passo 2

Explicando dilatação linear (fórmula e interpretação): o coeficiente de dilatação linear \alpha relaciona a variação do comprimento com a variação de temperatura. Para um comprimento L dependente da temperatura T, para variações pequenas de temperatura vale aproximadamente
\Delta L \approx \alpha L\,\Delta T.
Em forma diferencial isso vira
\frac{dL}{dT}=\alpha L.
Aplicando isso aos raios: as taxas de variação dos raios com a temperatura são
\frac{dR}{dT}=\alpha_{R}R,\qquad \frac{dr}{dT}=\alpha_{r}r.
Aqui \alpha_{R} e \alpha_{r} são os coeficientes lineares das duas esferas, e R e r são os raios instantâneos.

Passo 3

Escrevendo o volume da região interna (o “vão” entre as esferas): o volume entre as duas esferas é a diferença entre o volume da esfera de raio R e o volume da esfera de raio r:
V=\frac{4}{3}\pi\bigl(R^{3}-r^{3}\bigr).
Queremos que esse volume não varie com a temperatura, ou seja, que
\frac{dV}{dT}=0.

Passo 4

Calculando a derivada \dfrac{dV}{dT} usando a regra da cadeia (e lembrando que \pi e \tfrac{4}{3} são constantes):
\frac{dV}{dT}=\frac{4}{3}\pi\left(3R^{2}\frac{dR}{dT}-3r^{2}\frac{dr}{dT}\right).
Simplificando os fatores 3:
\frac{dV}{dT}=4\pi\left(R^{2}\frac{dR}{dT}-r^{2}\frac{dr}{dT}\right).
Agora substituímos \dfrac{dR}{dT}=\alpha_{R}R e \dfrac{dr}{dT}=\alpha_{r}r:
\frac{dV}{dT}=4\pi\bigl(\alpha_{R}R^{3}-\alpha_{r}r^{3}\bigr).

Passo 5

Impondo a condição de volume constante \dfrac{dV}{dT}=0, obtemos
\alpha_{R}R^{3}-\alpha_{r}r^{3}=0 \quad\Rightarrow\quad \alpha_{R}R^{3}=\alpha_{r}r^{3}.
Isolando a razão \dfrac{R}{r}:
\left(\frac{R}{r}\right)^{3}=\frac{\alpha_{r}}{\alpha_{R}}.

Passo 6

Agora substituímos a relação dada \alpha_{r}=8\alpha_{R}:
\left(\frac{R}{r}\right)^{3}=\frac{8\alpha_{R}}{\alpha_{R}}=8.
Tirando a raiz cúbica dos dois lados:
\frac{R}{r}= \sqrt[3]{8}=2.
Portanto a razão procurada é 2. (Observação: usamos a aproximação da dilatação linear válida para variações pequenas de temperatura.)

Resposta

\dfrac{R}{r}=2

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