60 Um cubo de um metal " x " a 80^{\circ} \mathrm{C} tem o mesmo volume que outro cubo de um metal " y " a 20^{\circ} \mathrm{C}. Determine a temperatura na qual ambos os cubos terão o mesmo volume. Sabe-se que: \alpha_{\mathrm{x}}=6 \alpha_{\mathrm{y}}.

Passo 1

O enunciado diz que um cubo do metal x a 80^\circ\mathrm{C} tem o mesmo volume que um cubo do metal y a 20^\circ\mathrm{C}. Pedem: determinar a temperatura T na qual ambos os cubos terão o mesmo volume. Informação adicional: \alpha_{x}=6\alpha_{y}.
Informações relevantes listadas:
  • Temperaturas conhecidas onde os volumes são iguais: 80^\circ\mathrm{C} para o metal x e 20^\circ\mathrm{C} para o metal y.
  • Relação entre coeficientes de dilatação linear: \alpha_{x}=6\alpha_{y}.
  • Objetivo: encontrar T tal que o volume de x a T seja igual ao volume de y a T.

Passo 2

Vamos lembrar e explicar a fórmula que usamos para dilatação térmica de sólidos (passo-a-passo e sem pular etapas).
Considere um cubo com comprimento inicial L_0 medido numa temperatura de referência (por exemplo 0^\circ\mathrm{C}). Quando a temperatura aumenta em \Delta T, o comprimento passa a ser aproximadamente
L = L_0\bigl(1 + \alpha\,\Delta T\bigr),
onde \alpha é o coeficiente de dilatação linear (significa quanto uma unidade de comprimento cresce por grau). Para o volume do cubo (que é L^3) temos:
V = L^3 = L_0^3\bigl(1 + \alpha\,\Delta T\bigr)^3.
Agora uma observação prática: expandindo \bigl(1+\alpha\Delta T\bigr)^3 1+3\alpha\Delta T+3(\alpha\Delta T)^2+(\alpha\Delta T)^3. Como \alpha é um número muito pequeno (tipicamente da ordem de 10^{-5} a 10^{-6}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}), os termos em (\alpha\Delta T)^2 e em (\alpha\Delta T)^3 são desprezíveis. Então, em boa aproximação linear,
\frac{\Delta V}{V_0}\approx 3\alpha\,\Delta T,
ou seja
V(T)\approx V_0\bigl(1 + 3\alpha\,(T-T_{\text{ref}})\bigr).
Isso significa que o coeficiente de dilatação volumétrica \beta vale aproximadamente \beta\approx 3\alpha. Estou explicando isso porque é a base para escrever as expressões de volume que vamos usar.

Passo 3

Agora aplicamos isso aos dois metais. Para facilitar, escolho como referência a temperatura 0^\circ\mathrm{C} (poderia ser qualquer outra, o resultado final independe). Denoto por V_{x0} o volume do cubo x a 0^\circ\mathrm{C} e por V_{y0} o volume do cubo y a 0^\circ\mathrm{C}. Seja \alpha o coeficiente de dilatação linear do metal y, ou seja \alpha_{y}=\alpha. Então \alpha_{x}=6\alpha. Usando a aproximação linear:
  • Volume do metal x à temperatura T:
V_x(T)\approx V_{x0}\bigl(1 + 3\alpha_x\,T\bigr)=V_{x0}\bigl(1 + 3(6\alpha)T\bigr)=V_{x0}\bigl(1 + 18\alpha\,T\bigr).
  • Volume do metal y à temperatura T:
V_y(T)\approx V_{y0}\bigl(1 + 3\alpha_y\,T\bigr)=V_{y0}\bigl(1 + 3\alpha\,T\bigr).
Observação: aqui T é medido em graus Celsius e usamos T-0 = T.

Passo 4

Usamos a condição inicial dada no enunciado: o volume de x a 80^\circ\mathrm{C} é igual ao volume de y a 20^\circ\mathrm{C}. Escrevendo isso com as fórmulas:
V_{x0}\bigl(1 + 18\alpha\cdot 80\bigr)=V_{y0}\bigl(1 + 3\alpha\cdot 20\bigr).
Dessa igualdade obtemos a relação entre V_{y0} e V_{x0}:
\frac{V_{y0}}{V_{x0}}=\frac{1 + 18\alpha\cdot 80}{1 + 3\alpha\cdot 20}=\frac{1 + 1440\alpha}{1 + 60\alpha}.

Passo 5

Agora impomos que em uma temperatura T os volumes sejam iguais: V_x(T)=V_y(T). Usando as expressões:
V_{x0}\bigl(1 + 18\alpha\,T\bigr)=V_{y0}\bigl(1 + 3\alpha\,T\bigr).
Substituindo \dfrac{V_{y0}}{V_{x0}} obtida no passo anterior:
1 + 18\alpha\,T=\frac{1 + 1440\alpha}{1 + 60\alpha}\bigl(1 + 3\alpha\,T\bigr).

Passo 6

Vamos resolver essa equação. Para simplificar o cálculo e porque \alpha é muito pequeno, expandimos mantendo apenas termos até ordem \alpha (desprezando termos em \alpha^2). Isso é consistente com a aproximação usada para a dilatação volumétrica. Expandindo ambos os lados até ordem \alpha:
  • Lado esquerdo (já está bom): 1 + 18\alpha T.
  • Lado direito: primeiro note que \dfrac{1 + 1440\alpha}{1 + 60\alpha}\approx (1 + 1440\alpha)(1 - 60\alpha) e, mantendo só termos até \alpha, isso dá 1 + (1440 - 60)\alpha = 1 + 1380\alpha. Então o lado direito é aproximadamente
(1 + 1380\alpha)\bigl(1 + 3\alpha T\bigr)\approx 1 + 1380\alpha + 3\alpha T,
descartando \alpha^2 (produto 1380\alpha\cdot 3\alpha T é \mathcal{O}(\alpha^2)).
Agora igualamos as duas expressões (cancelando o 1 em ambos os lados):
18\alpha T \approx 1380\alpha + 3\alpha T.
Dividindo por \alpha (não nulo):
18T \approx 1380 + 3T.
Reorganizando:
18T - 3T = 1380 \quad\Rightarrow\quad 15T = 1380.
Logo
T = \frac{1380}{15}=92.

Passo 7

Interpretação rápida: T=92^\circ\mathrm{C}. Faz sentido físico: como o metal x dilata-se muito mais (coeficiente 6 vezes maior), para que no mesmo T ambos os volumes coincidam é preciso subir a temperatura acima de 80^\circ\mathrm{C}, e o cálculo dá 92^\circ\mathrm{C}. Fica aqui um toque de incentivo: foi só organizar as expressões, linearizar com cuidado e resolver uma equação linear — tá tranquilo, você consegue fazer isso na prova!

Resposta

92^\circ\mathrm{C}

Exercícios relacionados