60 Um cubo de um metal "
" a
tem o mesmo volume que outro cubo de um metal "
" a
. Determine a temperatura na qual ambos os cubos terão o mesmo volume. Sabe-se que:
.
Passo 1
O enunciado diz que um cubo do metal
a
tem o mesmo volume que um cubo do metal
a
. Pedem: determinar a temperatura
na qual ambos os cubos terão o mesmo volume. Informação adicional:
.
Informações relevantes listadas:
Informações relevantes listadas:
- Temperaturas conhecidas onde os volumes são iguais:
para o metal e para o metal . - Relação entre coeficientes de dilatação linear:
. - Objetivo: encontrar
tal que o volume de a seja igual ao volume de a .
Passo 2
Vamos lembrar e explicar a fórmula que usamos para dilatação térmica de sólidos (passo-a-passo e sem pular etapas).
Considere um cubo com comprimento inicial medido numa temperatura de referência (por exemplo
). Quando a temperatura aumenta em
, o comprimento passa a ser aproximadamente
Considere um cubo com comprimento inicial
onde
é o coeficiente de dilatação linear (significa quanto uma unidade de comprimento cresce por grau). Para o volume do cubo (que é
) temos:
Agora uma observação prática: expandindo
dá
. Como
é um número muito pequeno (tipicamente da ordem de
a
), os termos em
e em
são desprezíveis. Então, em boa aproximação linear,
ou seja
Isso significa que o coeficiente de dilatação volumétrica
vale aproximadamente
. Estou explicando isso porque é a base para escrever as expressões de volume que vamos usar.
Passo 3
Agora aplicamos isso aos dois metais. Para facilitar, escolho como referência a temperatura
(poderia ser qualquer outra, o resultado final independe). Denoto por
o volume do cubo
a
e por
o volume do cubo
a
. Seja
o coeficiente de dilatação linear do metal
, ou seja
. Então
. Usando a aproximação linear:
- Volume do metal
à temperatura :
- Volume do metal
à temperatura :
Observação: aqui
é medido em graus Celsius e usamos
.
Passo 4
Usamos a condição inicial dada no enunciado: o volume de
a
é igual ao volume de
a
. Escrevendo isso com as fórmulas:
Dessa igualdade obtemos a relação entre
e
:
Passo 5
Agora impomos que em uma temperatura
os volumes sejam iguais:
. Usando as expressões:
Substituindo
obtida no passo anterior:
Passo 6
Vamos resolver essa equação. Para simplificar o cálculo e porque
é muito pequeno, expandimos mantendo apenas termos até ordem
(desprezando termos em
). Isso é consistente com a aproximação usada para a dilatação volumétrica. Expandindo ambos os lados até ordem
:
- Lado esquerdo (já está bom):
. - Lado direito: primeiro note que
e, mantendo só termos até , isso dá . Então o lado direito é aproximadamente
descartando
(produto
é
).
Agora igualamos as duas expressões (cancelando o em ambos os lados):
Agora igualamos as duas expressões (cancelando o
Dividindo por
(não nulo):
Reorganizando:
Logo
Passo 7
Interpretação rápida:
. Faz sentido físico: como o metal
dilata-se muito mais (coeficiente 6 vezes maior), para que no mesmo
ambos os volumes coincidam é preciso subir a temperatura acima de
, e o cálculo dá
. Fica aqui um toque de incentivo: foi só organizar as expressões, linearizar com cuidado e resolver uma equação linear — tá tranquilo, você consegue fazer isso na prova!