61 Um vaso de vidro pyrex ( \alpha_{v}=10^{-5}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1} ) tem um volume V_{v}=1080 \mathrm{~cm}^{3} à temperatura T_{o}=10^{\circ} \mathrm{C}. A esta temperatura é introduzido um volume \mathrm{V}_{\mathrm{L}}=1006 \mathrm{~cm}^{3} de um líquido ( \gamma_{\mathrm{L}}=4.10^{-4}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1} ). A que temperatura máxima o sistema deve ser aquecido sem derramamento de líquido?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa clara:
  • Dados:
    \alpha_{v}=1\times10^{-5}\,^{\circ}\mathrm{C}^{-1}
    (coeficiente volumétrico do vidro pyrex),
    V_{v}=1080\\ \mathrm{cm}^{3}
    (volume do vaso à temperatura inicial),
    T_{0}=10^{\circ}\mathrm{C}
    (temperatura inicial),
    V_{L}=1006\\ \mathrm{cm}^{3}
    (volume do líquido à temperatura inicial),
    \gamma_{L}=4\times10^{-4}\,^{\circ}\mathrm{C}^{-1}
    (coeficiente volumétrico do líquido).
  • Pergunta:
    Qual é a temperatura máxima T até a qual podemos aquecer o sistema sem que o líquido derrame do vaso?

Passo 2

Conceito físico e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • Quando um corpo sofre aquecimento, seu volume costuma aumentar. Para variações de temperatura não muito grandes podemos usar a aproximação linear para expansão volumétrica: V(T)=V_{0}\bigl(1+\beta\Delta T\bigr),onde: \Delta T=T-T_{0}é a variação de temperatura, V_{0} é o volume inicial (à temperatura T_{0}) e \beta é o coeficiente volumétrico (unidade ^\circ\mathrm{C}^{-1}).
  • No nosso problema:
    • Para o vaso de vidro usamos \beta=\alpha_{v} e V_{0}=V_{v}.
    • Para o líquido usamos \beta=\gamma_{L} e V_{0}=V_{L}.
  • A condição para NÃO haver derramamento é que, para qualquer T até T_{\max}, o volume do líquido seja menor ou igual ao volume interno do vaso: V_{L}(T)\le V_{v}(T).O máximo T antes do derramamento ocorre quando há igualdade: V_{L}(T)=V_{v}(T).

Passo 3

Escrevendo explicitamente as equações de expansão para cada um:
  • Volume do líquido à temperatura T: V_{L}(T)=V_{L}\bigl(1+\gamma_{L}\Delta T\bigr).
  • Volume do vaso à temperatura T: V_{v}(T)=V_{v}\bigl(1+\alpha_{v}\Delta T\bigr).
  • Igualando para obter \Delta T_{\max}: V_{L}\bigl(1+\gamma_{L}\Delta T\bigr)=V_{v}\bigl(1+\alpha_{v}\Delta T\bigr).

Passo 4

Resolver algebricamente a equação acima para \Delta T. Desenvolvendo:
V_{L}+V_{L}\gamma_{L}\Delta T=V_{v}+V_{v}\alpha_{v}\Delta T.
Agrupando termos com \Delta T de um lado e constantes do outro:
\Delta T\bigl(V_{L}\gamma_{L}-V_{v}\alpha_{v}\bigr)=V_{v}-V_{L}.
Logo:
\Delta T=\frac{V_{v}-V_{L}}{V_{L}\gamma_{L}-V_{v}\alpha_{v}}.
Comentário sobre o sinal: o denominador precisa ser positivo para \Delta T positiva. Fisicamente esperamos que \gamma_{L} seja maior que \alpha_{v}, então o líquido expande mais que o vidro e o denominador será positivo — faz sentido.

Passo 5

Substituir os valores numéricos (vou mostrar cada passo das contas):
  • Calcular numerador: V_{v}-V_{L}=1080-1006=74\\ \mathrm{cm}^{3}.
  • Calcular os termos do denominador: V_{L}\gamma_{L}=1006\times4\times10^{-4}=1006\times0{,}0004=0{,}4024\\ \mathrm{cm}^{3}/^{\circ}\mathrm{C},
V_{v}\alpha_{v}=1080\times1\times10^{-5}=1080\times0{,}00001=0{,}0108\\ \mathrm{cm}^{3}/^{\circ}\mathrm{C}.
  • Portanto o denominador é: V_{L}\gamma_{L}-V_{v}\alpha_{v}=0{,}4024-0{,}0108=0{,}3916\\ \mathrm{cm}^{3}/^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 6

Calcular \Delta T com os valores obtidos:
\Delta T=\frac{74}{0{,}3916}\approx188{,}9995\\ ^{\circ}\mathrm{C}\approx189{,}0\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
Então a temperatura máxima é
T_{\max}=T_{0}+\Delta T=10^{\circ}\mathrm{C}+189{,}0^{\circ}\mathrm{C}=199{,}0^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 7

Interpretação final e verificação rápida:
  • Resultado faz sentido: o líquido expande muito mais que o vidro ( \gamma_{L}\gg\alpha_{v}), então é preciso aquecer bastante para que o líquido ocupe o espaço extra do vaso; o valor obtido é razoável numericamente.
  • Em prova: mostre a igualdade dos volumes, desenvolva algebricamente, substitua números passo a passo (como fiz) e deixe claro as unidades.

Resposta

T_{\max}=199{,}0^{\circ}\mathrm{C}

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