61 Um vaso de vidro pyrex (
) tem um volume
à temperatura
. A esta temperatura é introduzido um volume
de um líquido (
). A que temperatura máxima o sistema deve ser aquecido sem derramamento de líquido?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa clara:
-
Dados:(coeficiente volumétrico do vidro pyrex),(volume do vaso à temperatura inicial),(temperatura inicial),(volume do líquido à temperatura inicial),(coeficiente volumétrico do líquido).
-
Pergunta:
Qual é a temperatura máximaaté a qual podemos aquecer o sistema sem que o líquido derrame do vaso?
Passo 2
Conceito físico e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
- Quando um corpo sofre aquecimento, seu volume costuma aumentar. Para variações de temperatura não muito grandes podemos usar a aproximação linear para expansão volumétrica:
onde: é a variação de temperatura, é o volume inicial (à temperatura ) e é o coeficiente volumétrico (unidade ). - No nosso problema:
- Para o vaso de vidro usamos
e . - Para o líquido usamos
e .
- Para o vaso de vidro usamos
- A condição para NÃO haver derramamento é que, para qualquer
até , o volume do líquido seja menor ou igual ao volume interno do vaso: O máximo antes do derramamento ocorre quando há igualdade:
Passo 3
Escrevendo explicitamente as equações de expansão para cada um:
- Volume do líquido à temperatura
: - Volume do vaso à temperatura
: - Igualando para obter
:
Passo 4
Resolver algebricamente a equação acima para
. Desenvolvendo:
Agrupando termos com
de um lado e constantes do outro:
Logo:
Comentário sobre o sinal: o denominador precisa ser positivo para
positiva. Fisicamente esperamos que
seja maior que
, então o líquido expande mais que o vidro e o denominador será positivo — faz sentido.
Passo 5
Substituir os valores numéricos (vou mostrar cada passo das contas):
- Calcular numerador:
- Calcular os termos do denominador:
- Portanto o denominador é:
Passo 6
Calcular
com os valores obtidos:
Então a temperatura máxima é
Passo 7
Interpretação final e verificação rápida:
- Resultado faz sentido: o líquido expande muito mais que o vidro (
), então é preciso aquecer bastante para que o líquido ocupe o espaço extra do vaso; o valor obtido é razoável numericamente. - Em prova: mostre a igualdade dos volumes, desenvolva algebricamente, substitua números passo a passo (como fiz) e deixe claro as unidades.