… 63 Um alarme acústico contra roubo utiliza uma fonte que emite ondas com uma frequência de 28,0 kHz . Qual é a frequência de batimento entre as ondas da fonte e as ondas refletidas em um intruso que caminha com uma velocidade média de 0,950 \mathrm{~m} / \mathrm{s} afastando-se em linha reta do alarme?

Passo 1

O enunciado pergunta qual é a frequência de batimento entre as ondas emitidas por um alarme e as ondas refletidas num intruso que se afasta. Dados fornecidos no enunciado:
\text{frequência da fonte: } f_s = 28{,}0\\ \text{kHz},ê
\text{velocidade do intruso (afastando-se): } v = 0{,}950\\ \mathrm{m/s}.
O enunciado não dá a velocidade do som no ar; vou assumir a valor padrão aproximado a 20^\circ\mathrm{C}:
v_{\text{som}} = 343\\ \mathrm{m/s}.
A tarefa: achar a frequência de batimento entre a onda direta (frequência f_s) e a onda refletida (frequência f_r).

Passo 2

O que é frequência de batimento? Quando duas ondas sonoras de frequências próximas f_1 e f_2 se superpõem, percebemos oscilações na amplitude com frequência igual à diferença absoluta entre as frequências:
\text{frequência de batimento } f_{\text{bat}} = |f_1 - f_2|.ê
Aqui f_1 = f_s (a fonte) e f_2 = f_r (a onda refletida). Então precisamos achar f_r e depois calcular |f_s-f_r|.

Passo 3

Explicando como obter f_r: a reflexão em um objeto em movimento é tratada em duas etapas Doppler:
  1. o intruso, movendo-se para longe, recebe a onda do alarme como um observador em movimento — a frequência que “atinge” o intruso será
f' = f_s\left(\frac{v_{\text{som}} - v}{v_{\text{som}}}\right),
onde v_{\text{som}} é a velocidade do som e v é a velocidade do intruso (sinais: subtraímos porque ele se afasta).
Aqui cada símbolo significa:
  • f_s: frequência emitida pela fonte (alarme),
  • f': frequência percebida pelo intruso (antes da reflexão),
  • v_{\text{som}}: velocidade do som no meio (ar),
  • v: velocidade do intruso em relação ao ar (positiva quando afastando-se).

Passo 4

  1. o intruso age como uma fonte que reemite/reflete a onda com frequência f', mas essa “fonte” está em movimento afastando-se do alarme. Para uma fonte móvel afastando-se de um observador estacionário, a frequência recebida pelo observador é
f_r = f'\left(\frac{v_{\text{som}}}{v_{\text{som}} + v}\right),
onde novamente somamos v no denominador porque a fonte se afasta.
Agora combinamos as duas expressões substituindo f':
f_r = f_s\left(\frac{v_{\text{som}} - v}{v_{\text{som}}}\right)\left(\frac{v_{\text{som}}}{v_{\text{som}} + v}\right).
Os termos v_{\text{som}} no numerador e denominador cancelam, ficando a forma simples
f_r = f_s\left(\frac{v_{\text{som}} - v}{v_{\text{som}} + v}\right).

Passo 5

Agora calculemos a frequência de batimento:
f_{\text{bat}} = f_s - f_r = f_s\left[1 - \frac{v_{\text{som}} - v}{v_{\text{som}} + v}\right].
Simplificando a expressão entre colchetes:
1 - \frac{v_{\text{som}} - v}{v_{\text{som}} + v} = \frac{(v_{\text{som}} + v) - (v_{\text{som}} - v)}{v_{\text{som}} + v} = \frac{2v}{v_{\text{som}} + v}.
Portanto
f_{\text{bat}} = f_s\left(\frac{2v}{v_{\text{som}} + v}\right).
Substituindo os valores numéricos (convertendo f_s para Hz: 28{,}0\\ \text{kHz}=28000\\ \text{Hz}):
f_{\text{bat}} = 28000\\ \text{Hz}\times\frac{2\times 0{,}950\\ \mathrm{m/s}}{343\\ \mathrm{m/s}+0{,}950\\ \mathrm{m/s}}.
Calcule passo a passo:
2v = 2\times 0{,}950 = 1{,}900\\ \mathrm{m/s},
v_{\text{som}} + v = 343 + 0{,}950 = 343{,}950\\ \mathrm{m/s},
\frac{2v}{v_{\text{som}} + v} = \frac{1{,}900}{343{,}950}\approx 0{,}005527.
Multiplicando por 28000\\ \text{Hz}:
f_{\text{bat}} \approx 28000\times 0{,}005527 \approx 154{,}8\\ \text{Hz}.
Arredondando com três algarismos significativos, dá aproximadamente 155\\ \text{Hz}.
Observação útil: se v\ll v_{\text{som}}, podemos aproximar f_{\text{bat}}\approx 2f_s\frac{v}{v_{\text{som}}}. Usando essa aproximação com v_{\text{som}}=343\\ \mathrm{m/s} dá o mesmo resultado dentro de uma pequena diferença numérica.

Passo 6

Resumo e incentivo: a ideia principal foi ver a reflexão como duas aplicações do efeito Doppler (observador móvel e depois fonte móvel) e lembrar que o batimento é simplesmente a diferença entre as duas frequências. Você já tem a expressão fechada e pode aplicá-la a outros números — tá indo bem, continua assim!

Resposta

155\\ \text{Hz}

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