-•49 Uma corda de violino de 30,0 \mathrm{~cm} de comprimento, com massa específica linear de 0,650 \mathrm{~g} / \mathrm{m}, é colocada perto de um alto-falante alimentado por um oscilador de áudio de frequência variável. Observa-se que a corda entra em oscilação apenas nas frequências de 880 Hz e 1320 Hz quando a frequência do oscilador de áudio varia no intervalo de 500 a 1500 Hz . Qual é a tração da corda?

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre a tração da corda (força de tensão) usando as informações de oscilação observadas. Dados fornecidos pelo enunciado:
  • Comprimento da corda: L=30,0\\ \mathrm{cm}.
  • Massa linear da corda: \mu=0,650\\ \mathrm{g/m}.
  • A corda entra em oscilação somente nas frequências 880\\ \mathrm{Hz} e 1320\\ \mathrm{Hz} quando o oscilador varia entre 500\\ \mathrm{Hz} e 1500\\ \mathrm{Hz}.
  • Intervalo de excitação do oscilador: 500\\ \mathrm{Hz} a 1500\\ \mathrm{Hz}.
O que é pedido: calcular a tração T da corda (em newtons).

Passo 2

Conceito básico que vamos usar (explicado do zero): uma corda presa nas duas extremidades forma ondas estacionárias cuja frequência natural dos modos é dada por
f_n = \frac{n\,v}{2L},
onde:
  • f_n é a frequência do modo n (com n=1,2,3,\dots);
  • v é a velocidade de propagação da onda na corda;
  • L é o comprimento da corda;
  • n é o número do harmônico (modo), inteiro positivo.
Por que essa fórmula? Resumidamente: para ter nós nas duas extremidades a onda deve conter um número inteiro n de semioscilações ao longo do comprimento, então o comprimento de onda do modo n é \lambda_n = \tfrac{2L}{n}. Como f=v/\lambda, substituindo \lambda_n obtemos a fórmula acima.
Além disso, a velocidade v da onda na corda relaciona-se com a tração T e a massa linear \mu por
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}},
onde:
  • T é a tração (força) na corda;
  • \mu é a massa por unidade de comprimento (kg/m).
Juntando as duas relações, poderemos achar T se conhecermos um f_n e L e \mu.

Passo 3

Identificar quais harmônicos correspondem às frequências observadas. Se duas frequências observadas são f_a=880\\ \mathrm{Hz} e f_b=1320\\ \mathrm{Hz}, para modos n e m temos
\frac{f_b}{f_a}=\frac{m}{n}.
Calcule a razão:
\frac{1320}{880}=1,5=\frac{3}{2}.
Logo, a razão é 3/2, o que indica que as frequências correspondem aos harmônicos n=2 e m=3 (isto é, f_2=880\\ \mathrm{Hz} e f_3=1320\\ \mathrm{Hz}). Isso faz sentido porque modos consecutivos têm razão \tfrac{n+1}{n} e aqui \tfrac{3}{2}=1{,}5.

Passo 4

A partir disso, obtemos o primeiro harmônico (fundamental):
f_1=\frac{f_2}{2}=\frac{880}{2}=440\\ \mathrm{Hz}.
Observação interpretativa (útil para confirmar a escolha): f_1=440\\ \mathrm{Hz} está fora do intervalo do oscilador inferior ( 500\\ \mathrm{Hz}), por isso o oscilador não excita diretamente o modo fundamental; os modos f_2 e f_3 caem no intervalo 500 1500\\ \mathrm{Hz}, e f_4=4\cdot440=1760\\ \mathrm{Hz} está acima de 1500\\ \mathrm{Hz}. Isso explica porque só se detectaram 880\\ \mathrm{Hz} e 1320\\ \mathrm{Hz} nesse intervalo.

Passo 5

Calcular a velocidade v da onda na corda usando f_1 e L. Primeiro converter comprimento para metros:
L=30{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}300\\ \mathrm{m}.
Da fórmula f_1=\dfrac{1\cdot v}{2L} segue
v = 2L f_1.
Substituindo:
v = 2\cdot 0{,}300\cdot 440 = 0{,}600\cdot 440 = 264\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Converter a massa linear para unidades SI (kg/m):
\mu=0{,}650\\ \mathrm{g/m}=0{,}650\times 10^{-3}\\ \mathrm{kg/m}=0{,}000650\\ \mathrm{kg/m}.

Passo 7

Usar v=\sqrt{T/\mu} para achar T. Isolando T:
T=\mu v^{2}.
Calcule v^{2}:
v^{2}=264^{2}=69696.
Agora
T=0{,}000650\cdot 69696 = 45{,}3024\\ \mathrm{N}.
Arredondando de acordo com os algarismos significativos dos dados (tipicamente três algarismos significativos), obtemos
T\approx 45{,}3\\ \mathrm{N}.

Passo 8

Recapitulando: identificamos que as frequências observadas são os harmônicos 2 e 3, obtivemos o fundamental 440\\ \mathrm{Hz}, calculamos a velocidade 264\\ \mathrm{m/s}, convertimos \mu para SI e aplicamos T=\mu v^{2} para chegar ao valor final da tração. Força razoável para uma corda de instrumento — nada irracional — então o resultado faz sentido físico.

Resposta

45{,}3\\ \mathrm{N}

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