-•49 Uma corda de violino de
de comprimento, com massa específica linear de
, é colocada perto de um alto-falante alimentado por um oscilador de áudio de frequência variável. Observa-se que a corda entra em oscilação apenas nas frequências de 880 Hz e 1320 Hz quando a frequência do oscilador de áudio varia no intervalo de 500 a 1500 Hz . Qual é a tração da corda?
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre a tração da corda (força de tensão) usando as informações de oscilação observadas. Dados fornecidos pelo enunciado:
- Comprimento da corda:
. - Massa linear da corda:
. - A corda entra em oscilação somente nas frequências
e quando o oscilador varia entre e . - Intervalo de excitação do oscilador:
a .
O que é pedido: calcular a tração
da corda (em newtons).
Passo 2
Conceito básico que vamos usar (explicado do zero): uma corda presa nas duas extremidades forma ondas estacionárias cuja frequência natural dos modos é dada por
onde:
-
é a frequência do modo (com ); -
é a velocidade de propagação da onda na corda; -
é o comprimento da corda; -
é o número do harmônico (modo), inteiro positivo.
Por que essa fórmula? Resumidamente: para ter nós nas duas extremidades a onda deve conter um número inteiro
de semioscilações ao longo do comprimento, então o comprimento de onda do modo
é
. Como
, substituindo
obtemos a fórmula acima.
Além disso, a velocidade
da onda na corda relaciona-se com a tração
e a massa linear
por
onde:
-
é a tração (força) na corda; -
é a massa por unidade de comprimento (kg/m).
Juntando as duas relações, poderemos achar
se conhecermos um
e
e
.
Passo 3
Identificar quais harmônicos correspondem às frequências observadas. Se duas frequências observadas são
e
, para modos
e
temos
Calcule a razão:
Logo, a razão é
, o que indica que as frequências correspondem aos harmônicos
e
(isto é,
e
). Isso faz sentido porque modos consecutivos têm razão
e aqui
.
Passo 4
A partir disso, obtemos o primeiro harmônico (fundamental):
Observação interpretativa (útil para confirmar a escolha):
está fora do intervalo do oscilador inferior (
), por isso o oscilador não excita diretamente o modo fundamental; os modos
e
caem no intervalo
–
, e
está acima de
. Isso explica porque só se detectaram
e
nesse intervalo.
Passo 5
Calcular a velocidade
da onda na corda usando
e
. Primeiro converter comprimento para metros:
Da fórmula
segue
Substituindo:
Passo 6
Converter a massa linear para unidades SI (kg/m):
Passo 7
Usar
para achar
. Isolando
:
Calcule
:
Agora
Arredondando de acordo com os algarismos significativos dos dados (tipicamente três algarismos significativos), obtemos
Passo 8
Recapitulando: identificamos que as frequências observadas são os harmônicos 2 e 3, obtivemos o fundamental
, calculamos a velocidade
, convertimos
para SI e aplicamos
para chegar ao valor final da tração. Força razoável para uma corda de instrumento — nada irracional — então o resultado faz sentido físico.