-31 Ao “estalar” uma junta, você alarga bruscamente a cavidade da articulação, aumentando o volume disponível para o fluido sinovial no interior e causando o aparecimento súbito de uma bolha de ar no fluido. A produção súbita da bolha, chamada de “cavitação”, produz um pulso sonoro: o som do estalo. Suponha que o som é transmitido uniformemente em todas as direções e que passa completamente do interior da articulação para o exterior. Se o pulso tem um nível sonoro de 62 dB no seu ouvido, estime a taxa com a qual a energia é produzida pela cavitação.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma estimativa do que foi pedido:
  • O nível sonoro medido no seu ouvido é 62\\ \mathrm{dB}.
  • O som é transmitido uniformemente em todas as direções (radiação esférica).
  • O som sai completamente da articulação para o exterior (sem perdas internas relevantes).
  • Pergunta: estimar a taxa com que a energia é produzida pela cavitação — isto é, estimar a potência acústica radiada pela bolha.

Passo 2

Explicação do conceito que precisamos usar (passo-a-passo didático):
  • Nível sonoro em decibéis: o nível L em decibéis está relacionado à intensidade sonora I pela fórmula
L = 10 \log_{10}\!\left(\frac{I}{I_0}\right),
onde I_0 é a intensidade de referência escolhida convencionalmente igual a I_0 = 10^{-12}\\ \mathrm{W/m^2}.
  • Essa fórmula significa: o nível em dB mede quantas ordens de grandeza a intensidade tem em relação a I_0. Para inverter a relação e obter I a partir de L resolvemos a equação para I:
I = I_0 \, 10^{L/10}.
  • Explicando as variáveis: L é o nível em dB (aqui 62\\ \mathrm{dB}), I é a intensidade (potência por área) no ponto onde você mediu o som (seu ouvido), e I_0 é a pequena intensidade de referência 10^{-12}\\ \mathrm{W/m^2}.

Passo 3

Calcular a intensidade no ouvido a partir de L=62\\ \mathrm{dB}:
I = 10^{-12}\\ \mathrm{W/m^2}\times 10^{62/10}=10^{-12}\times 10^{6{,}2}.
Agora avalio 10^{6{,}2}=10^{6}\times10^{0{,}2} e uso 10^{0{,}2}\approx 1{,}5849. Portanto
I \approx 10^{-12}\times 1{,}5849\times10^{6}=1{,}5849\times10^{-6}\\ \mathrm{W/m^2}.
Arredondando com poucas algarismos significativos:
I \approx 1{,}585\times10^{-6}\\ \mathrm{W/m^2}.

Passo 4

Relacionando intensidade com potência total radiada:
  • Se a energia sonora é radiada uniformemente em todas as direções, a potência total P emitida pela fonte está relacionada à intensidade em distância r pela área da superfície esférica de raio r:
P = I \times 4\pi r^{2}.
  • Aqui r é a distância entre a articulação (fonte) e o ponto onde você mediu o nível (seu ouvido). Essa expressão vem da definição de intensidade como potência por unidade de área: I=P/A e a área da esfera é A=4\pi r^2.

Passo 5

Escolha de uma distância r para estimativa (explicando e justificando):
  • O enunciado não fornece r. Para estimar a ordem de grandeza precisamos assumir uma distância razoável entre a articulação que estala e o ouvido.
  • Uma escolha razoável para o ouvido quando você escuta um estalo próximo (por exemplo, estalar os dedos ou nós dos dedos) é algo da ordem de meio metro. Vou assumir
r = 0{,}5\\ \mathrm{m}.
  • Observação prática: se quiser ajustar o resultado para outra distância, a potência escala como P\propto r^{2} (dobrar r aumenta P por um fator 4).

Passo 6

Calcular a potência usando I do passo 3 e r=0{,}5\\ \mathrm{m}:
  • A área da esfera é
4\pi r^{2}=4\pi(0{,}5)^{2}=4\pi\times0{,}25=\pi\approx 3{,}1416\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Então a potência é
P = I\;4\pi r^{2}\approx 1{,}585\times10^{-6}\times 3{,}1416\\ \mathrm{W}.
Faço a multiplicação:
P \approx 4{,}98\times10^{-6}\\ \mathrm{W}.
Arredondando de forma conveniente:
P \approx 5{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{W}.

Passo 7

Interpretação e nota final:
  • O número significa que a cavitação está produzindo potência acústica da ordem de micro-watts — ou seja, muito pequena em termos de potência elétrica/comum, mas suficiente para produzir um som audível próximo ao ouvido.
  • Lembrete: esse é um valor estimado que depende da hipótese r=0{,}5\\ \mathrm{m}. Para outra distância r a potência seria
P(r)=4\pi r^{2} I_0\,10^{L/10}.
  • Vai dar mais ou menos o mesmo tipo de ordem de grandeza (micro-watts) para distâncias pequenas típicas (algumas décimas de metro).

Resposta

P \approx 5{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{W} (assumindo r=0{,}5\\ \mathrm{m}).

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