6.63

Calcule a relação entre a massa m (dada pela Teoria da Relatividade) e a massa m0 (massa de repouso) para o elétron girando na primeira órbita do átomo de hidrogênio no estado fundamental.

Passo 1

O enunciado pede a razão entre a massa relativística m e a massa de repouso m0 de um elétron girando na primeira órbita do átomo de hidrogênio no estado fundamental. Para isso, vamos usar o modelo de Bohr para obter a velocidade do elétron e, em seguida, aplicar a relação relativística
m = m0raiz1 - (v/c)^2,

Passo 2

No modelo de Bohr a velocidade do elétron na órbita fundamental é
v1 = alpha,c,
onde alpha é a constante de estrutura fina definida por
alpha = e^24pivarepsilon0hbar,capprox 1137approx 7,297times 10^-3

Passo 3

Substituindo v = v1 = alpha,c na expressão de massa relativística, definimos o fator de Lorentz
gamma = 1raiz1 - (v/c)^2 = 1raiz1 - alpha^2,

Passo 4

Calculando numericamente alpha^2 e gamma:
alpha^2approx (7,297times 10^-3)^2approx 5,32times 10^-5,
gamma = 1raiz1 - 5,32times 10^-5 approx 1,0000266

Passo 5

Como m = gamma,m0, a razão pedida é
mm0 = gamma approx 1,0000266

Resposta

mm0 approx 1,0000266

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