( ) 63. De posse da distribuição de temperaturas numa esfera sólida cujo centro está numa temperatura maior que a superfície externa, como se pode calcular o fluxo de calor que atravessa o corpo?
( ) 64. Partindo da Equação da Lei de Fourier, obtenha a expressão que permita calcular a carga térmica Q que atravessa radialmente uma casca esférica submetida à uma diferença de temperatura conhecida. Considerando as condições de contorno: T\left(r=R_{1}\right)=T_{1} e T\left(r=R_{2}\right)=T_{2}, sendo R_{1} e R_{2} os raios interno e externo da casca esférica de condutividade térmica k, respectivamente.

Passo 1

O enunciado trata de condução estacionária de calor em coordenadas esféricas. Na parte (63) queremos saber, dada a distribuição de temperatura T(r) numa esfera sólida cujo centro está mais quente que a superfície, como obter o fluxo de calor que atravessa o corpo. Na parte (64) vamos partir da Lei de Fourier para condução radial e derivar a expressão do fluxo térmico Q através de uma casca esférica de raios interno R_{1} e externo R_{2}, cujas temperaturas nas superfícies são T_{1} e T_{2}, respectivamente.

Passo 2

A Lei de Fourier para condução de calor em meio contínuo diz que o fluxo de calor vetorial é
\mathbf{q} = -\,k\,\nabla T,
onde k é a condutividade térmica. Em simetria esférica pura, a única variação ocorre na direção radial r, de modo que
q_{r} = -\,k\,\frac{dT}{dr}.
O fluxo total que atravessa a superfície esférica de raio r é a componente radial times a área dessa esfera:
Q = q_{r}\,A(r) = -\,k\,\frac{dT}{dr}\;4\pi r^{2}.
Isso já responde à parte (63): basta calcular \frac{dT}{dr} a partir da distribuição T(r) e usar
Q = -\,4\pi k\,r^{2}\,\frac{dT}{dr}.

Passo 3

Para a casca esférica em regime estacionário o fluxo Q é constante em qualquer r. Assim podemos escrever
-\,4\pi k\,r^{2}\,\frac{dT}{dr} \;=\; Q.
Dessa igualdade isolamos a derivada:
\frac{dT}{dr} = -\,\frac{Q}{4\pi k}\,\frac{1}{r^{2}}.

Passo 4

Integramos essa equação de r=R_{1} até r=R_{2}, correspondendo a temperaturas de T_{1} até T_{2}:
\int_{T_{1}}^{T_{2}} dT = -\,\frac{Q}{4\pi k} \int_{R_{1}}^{R_{2}} \frac{dr}{r^{2}}.
O lado esquerdo dá T_{2}-T_{1}. O lado direito:
\int_{R_{1}}^{R_{2}} \frac{dr}{r^{2}} = \Bigl[-\,\frac{1}{r}\Bigr]_{R_{1}}^{R_{2}} = -\,\frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{1}} = \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}}.
Logo,
T_{2}-T_{1} = -\,\frac{Q}{4\pi k}\,\Bigl(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}\Bigr).

Passo 5

Reescrevendo para isolar Q:
Q = 4\pi k\, \frac{T_{1}-T_{2}}{\dfrac{1}{R_{1}}-\dfrac{1}{R_{2}}}.

Resposta

Para (63), use
Q=-\,4\pi k\,r^{2}\,\frac{dT}{dr},
avaliado em qualquer raio r.
Para (64), a expressão final do fluxo térmico radial é
Q = 4\pi k\, \frac{T_{1}-T_{2}}{\dfrac{1}{R_{1}}-\dfrac{1}{R_{2}}}.

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