( ) 63. De posse da distribuição de temperaturas numa esfera sólida cujo centro está numa temperatura maior que a superfície externa, como se pode calcular o fluxo de calor que atravessa o corpo?
( ) 64. Partindo da Equação da Lei de Fourier, obtenha a expressão que permita calcular a carga térmica
que atravessa radialmente uma casca esférica submetida à uma diferença de temperatura conhecida. Considerando as condições de contorno:
e
, sendo
e
os raios interno e externo da casca esférica de condutividade térmica
, respectivamente.
( ) 64. Partindo da Equação da Lei de Fourier, obtenha a expressão que permita calcular a carga térmica
Passo 1
O enunciado trata de condução estacionária de calor em coordenadas esféricas. Na parte (63) queremos saber, dada a distribuição de temperatura
numa esfera sólida cujo centro está mais quente que a superfície, como obter o fluxo de calor que atravessa o corpo. Na parte (64) vamos partir da Lei de Fourier para condução radial e derivar a expressão do fluxo térmico
através de uma casca esférica de raios interno
e externo
, cujas temperaturas nas superfícies são
e
, respectivamente.
Passo 2
A Lei de Fourier para condução de calor em meio contínuo diz que o fluxo de calor vetorial é
onde
é a condutividade térmica. Em simetria esférica pura, a única variação ocorre na direção radial
, de modo que
O fluxo total que atravessa a superfície esférica de raio
é a componente radial times a área dessa esfera:
Isso já responde à parte (63): basta calcular
a partir da distribuição
e usar
Passo 3
Para a casca esférica em regime estacionário o fluxo
é constante em qualquer
. Assim podemos escrever
Dessa igualdade isolamos a derivada:
Passo 4
Integramos essa equação de
até
, correspondendo a temperaturas de
até
:
O lado esquerdo dá
. O lado direito:
Logo,
Passo 5
Reescrevendo para isolar
:
Resposta
Para (63), use
avaliado em qualquer raio
.
Para (64), a expressão final do fluxo térmico radial é
Para (64), a expressão final do fluxo térmico radial é