( ) 66. Considere uma placa plana de ferro de 0,5 \mathrm{~cm} de espessura, área 300 \mathrm{~cm}^{2} e condutividade térmica igual a 15 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}. Um dos lados da placa é submetido a um fluxo de calor uniforme gerado por uma resistência elétrica associada, de 40.000 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}, enquanto a outra superfície perde calor para o ambiente ( T_{\infty}=20^{\circ} \mathrm{C} ) por convecção ( \mathrm{h}=80 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} ). Despreze a perda por calor por radiação e obtenha o perfil de temperaturas na placa, indicando as temperaturas em cada superfície. A transferência de calor é unidimensional e ocorre em estado estacionário. Todo o calor que entra por uma superfície é transferido para a outra, de modo a deixar a placa por convecção, apenas neste lado.

Passo 1

O enunciado descreve uma placa plana de ferro, espessura L=0,5\\ \mathrm{cm}=0,005\\ \mathrm{m}, área A=300\\ \mathrm{cm}^2=0,03\\ \mathrm{m}^2 e condutividade térmica k=15\\ \mathrm{W/mK}. Em regime estacionário unidimensional, um lado em x=0 recebe fluxo de calor uniforme \dot q''=40\,000\\ \mathrm{W/m^2} e o outro lado em x=L perde calor por convecção com coeficiente h=80\\ \mathrm{W/m^2K} para o fluido a T_\infty=20\,^\circ\mathrm C. Vamos usar a lei de Fourier e as condições de contorno de fluxo prescrito e de convecção para obter o perfil de temperatura T(x) e os valores em x=0 e x=L.

Passo 2

Em estado estacionário sem geração interna, a equação de condução 1-D é
\frac{d^2T}{dx^2}=0
Integrando-se duas vezes obtemos
T(x)=C_1\,x + C_2.
Pela lei de Fourier o fluxo constante é
\dot q''=-\,k\,\frac{dT}{dx}=-\,k\,C_1\quad\Longrightarrow\quad C_1=-\frac{\dot q''}{k}.
Logo
T(x)=T(0)-\frac{\dot q''}{k}\,x.

Passo 3

Na face em x=L a perda por convecção iguala o fluxo que chega por condução:
\dot q''=h\bigl(T(L)-T_\infty\bigr).
Assim
T(L)=T_\infty + \frac{\dot q''}{h}.

Passo 4

Substituindo x=L em T(x) temos
T(L)=T(0)-\frac{\dot q''}{k}\,L.
Igualando ao valor obtido por convecção:
T(0)-\frac{\dot q''}{k}\,L = T_\infty + \frac{\dot q''}{h}
de onde
T(0)=T_\infty + \frac{\dot q''}{h} + \frac{\dot q''}{k}\,L.

Passo 5

Agora substituímos os valores numéricos:
\frac{\dot q''}{h}=\frac{40\,000}{80}=500\\ \mathrm K, \qquad \frac{\dot q''}{k}\,L =\frac{40\,000}{15}\times 0,005 \approx13{,}33\\ \mathrm K.
Com T_\infty=20\,^\circ\mathrm C obtemos
T(L)=20+500=520\,^\circ\mathrm C, \qquad T(0)=20+500+13{,}33\approx533{,}33\,^\circ\mathrm C.

Passo 6

O perfil de temperatura ao longo da placa é
T(x) = T(0)-\frac{\dot q''}{k}\,x =533{,}33 - \frac{40\,000}{15}\,x \quad\bigl[\,x\text{ em m, }T\text{ em }^\circ\mathrm C\bigr].

Resposta

T(0)\approx533{,}33\,^\circ\mathrm C (face submetida ao fluxo)
T(L)\approx520{,}00\,^\circ\mathrm C (face em convecção)
Perfil de temperatura:
T(x)=533{,}33 - \tfrac{40\,000}{15}\,x\quad(0\le x\le0,005).

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