7.64 Calcule a temperatura final do sistema se adicionarmos 20 g de gelo a -5^{\circ} \mathrm{C} a 100 g de água líquida a 21^{\circ} \mathrm{C} em um frasco de Dewar (uma garrafa térmica); para a transformação \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}(\mathrm{s}) \rightarrow \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}(\mathrm{l}) ; \Delta H^{\circ}= =6009 \mathrm{~J} / \mathrm{mol}.
\bar{C}_{p}\left(\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}, \mathrm{~s}\right) /(\mathrm{J} / \mathrm{K} \mathrm{~mol})=37,7, \quad \bar{C}_{p}\left(\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}, \mathrm{I}\right) /(\mathrm{J} / \mathrm{K} \mathrm{~mol})=75,3 .

Passo 1

O que o problema pede e os dados fornecidos.
  • Pedido: calcular a temperatura final do sistema depois de misturar gelo com água em um frasco isolado (Dewar).
  • Dados fornecidos:
    • massa de gelo: m_{\text{gelo}}=20\\ \mathrm{g}.
    • temperatura inicial do gelo: T_{\text{gelo,i}}=-5^\circ\mathrm{C}.
    • massa de água líquida: m_{\text{água}}=100\\ \mathrm{g}á.
    • temperatura inicial da água: T_{\text{água,i}}=21^\circ\mathrm{C}á.
    • entalpia de fusão (sólido \to líquido): \Delta H_{\text{fus}}=6009\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}.
    • capacidades molares a pressão constante:
      • para gelo (sólido): \bar{C}_p(\mathrm{H_2O,s})=37{,}7\\ \mathrm{J\\ K^{-1}\\ mol^{-1}}.
      • para água líquida: \bar{C}_p(\mathrm{H_2O,l})=75{,}3\\ \mathrm{J\\ K^{-1}\\ mol^{-1}}.
    • massa molar da água (usada para converter g \to mol): M=18{,}015\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}.
O enunciado pede apenas a temperatura final do sistema; o frasco é isolado (não há troca de calor com o ambiente), logo a energia trocada entre gelo e água se conserva internamente.

Passo 2

Converter massas em número de mols e explicar por que.
  • Para usar as capacidades molares e a entalpia por mol, converte-se massa \to mols por n=\dfrac{m}{M}.
  • Número de mols do gelo: n_{\text{gelo}}=\dfrac{20\\ \mathrm{g}}{18{,}015\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}}\approx 1{,}110\\ \mathrm{mol}.
  • Número de mols da água líquida: n_{\text{água}}=\dfrac{100\\ \mathrm{g}}{18{,}015\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}}\approx 5{,}551\\ \mathrm{mol}.á
Esses n serão usados para calcular calores trocados com as fórmulas molares.

Passo 3

Planejar a sequência de processos térmicos (o que acontece com o gelo e com a água) e as fórmulas de calor.
Sequência física esperada (assumindo que todo o gelo pode derreter; checaremos essa hipótese depois):
  1. gelo aquece de -5^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C};
  2. gelo em 0^\circ\mathrm{C} sofre fusão (absorve \Delta H_{\text{fus}} por mol);
  3. a água resultante da fusão aquece de 0^\circ\mathrm{C} até a temperatura final T_f;
  4. a água originalmente a 21^\circ\mathrm{C} esfria de 21^\circ\mathrm{C} até T_f.
Fórmulas que vamos usar (explicadas):
  • calor para aquecer/refrigerar um número de mols n de uma substância com capacidade molar \bar{C}_p por uma variação de temperatura \Delta T: q = n\,\bar{C}_p\,\Delta T.Aqui q é positivo se a substância ganha calor (aquecimento) e negativo se perde calor (resfriamento).
  • calor para fusão de n mols: q_{\text{fus}} = n\,\Delta H_{\text{fus}}.Esse q é positivo quando há fusão (absorção de calor).
Como o frasco é isolado, a soma algébrica de todos os calores trocados deve ser zero:
\sum q = 0.

Passo 4

Calcular o calor necessário para aquecer o gelo de -5^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C}.
Aplicamos q = n\,\bar{C}_p\,\Delta T para o sólido:
  • n=n_{\text{gelo}},
  • \bar{C}_p=\bar{C}_p(\mathrm{H_2O,s}),
  • \Delta T = 0 - (-5)=5\\ \mathrm{K}.
Logo
q_1 = n_{\text{gelo}}\;\bar{C}_p(\mathrm{s})\; (0-(-5)) = (1{,}110\\ \mathrm{mol})\times(37{,}7\\ \mathrm{J\\ K^{-1}\\ mol^{-1}})\times 5\\ \mathrm{K}.
Cálculo numérico:
q_1 \approx 1{,}110\times 37{,}7\times 5 \approx 209{,}2\\ \mathrm{J}.
Interpretação: o gelo precisa absorver cerca de 209{,}2\\ \mathrm{J} para ir de -5^\circ\mathrm{C} a 0^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Calcular o calor necessário para fundir todo o gelo (se for o caso).
Usamos q_{\text{fus}} = n_{\text{gelo}}\;\Delta H_{\text{fus}}:
q_2 = (1{,}110\\ \mathrm{mol})\times(6009\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}).
Cálculo numérico:
q_2 \approx 1{,}110\times 6009 \approx 6669{,}99\\ \mathrm{J}\approx 6670{,}0\\ \mathrm{J}.
Interpretação: a fusão do gelo (tudo) exige cerca de 6670\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Expressar o calor para aquecer a água proveniente do gelo e o calor liberado pela água quente ao esfriar até T_f; montar a equação de balanço energético.
  • Calor para aquecer a água que vem do gelo (da fusão) de 0^\circ\mathrm{C} até T_f:
    q_3 = n_{\text{gelo}}\;\bar{C}_p(\mathrm{l})\;(T_f-0).
    Aqui T_f está em ^\circ\mathrm{C} (ou K), como é diferença de temperatura a unidade é K.
  • Calor liberado pela água inicialmente a 21^\circ\mathrm{C} ao esfriar até T_f:
    q_4 = n_{\text{água}}\;\bar{C}_p(\mathrm{l})\;(T_f-21^\circ\mathrm{C}).á
    Observe que q_4 será negativo se T_f<21^\circ\mathrm{C} (o que é esperado), indicando perda de calor pela água quente.
Balanço de energia (soma algébrica = 0):
q_1 + q_2 + q_3 + q_4 = 0.
Agora substituímos as expressões e agrupamos termos em T_f:
n_{\text{gelo}}\bar{C}_p(\mathrm{l})\,T_f + n_{\text{água}}\bar{C}_p(\mathrm{l})\,T_f - n_{\text{água}}\bar{C}_p(\mathrm{l})\times 21 + q_1 + q_2 = 0.áá
Simplificando:
\bigl(n_{\text{gelo}}+n_{\text{água}}\bigr)\bar{C}_p(\mathrm{l})\,T_f = n_{\text{água}}\bar{C}_p(\mathrm{l})\times 21 - (q_1+q_2).áá
Portanto
T_f = \dfrac{n_{\text{água}}\bar{C}_p(\mathrm{l})\times 21 - (q_1+q_2)}{(n_{\text{gelo}}+n_{\text{água}})\bar{C}_p(\mathrm{l})}.áá

Passo 7

Fazer os cálculos numéricos finais e checar a hipótese T_f>0^\circ\mathrm{C}.
Primeiro calculemos alguns termos numéricos:
  • n_{\text{gelo}}\approx 1{,}110\\ \mathrm{mol}.
  • n_{\text{água}}\approx 5{,}551\\ \mathrm{mol}á.
  • \bar{C}_p(\mathrm{l})=75{,}3\\ \mathrm{J\\ K^{-1}\\ mol^{-1}}.
  • Já temos q_1\approx 209{,}2\\ \mathrm{J} e q_2\approx 6670{,}0\\ \mathrm{J}.
Calcule n_{\text{água}}\bar{C}_p(\mathrm{l})\times 21á:
n_{\text{água}}\bar{C}_p(\mathrm{l})\times 21 \approx 5{,}551\times 75{,}3\times 21 \approx 8\,777{,}8\\ \mathrm{J}.á
Calcule q_1+q_2:
q_1+q_2 \approx 209{,}2 + 6670{,}0 = 6\,879{,}2\\ \mathrm{J}.
Calcule o numerador:
n_{\text{água}}\bar{C}_p(\mathrm{l})\times 21 - (q_1+q_2) \approx 8\,777{,}8 - 6\,879{,}2 = 1\,898{,}6\\ \mathrm{J}.á
Calcule o denominador (n_{\text{gelo}}+n_{\text{água}})\bar{C}_p(\mathrm{l})á:
(1{,}110+5{,}551)\times 75{,}3 \approx 6{,}661\times 75{,}3 \approx 501{,}6\\ \mathrm{J\\ K^{-1}}.
Finalmente,
T_f \approx \dfrac{1\,898{,}6}{501{,}6}\approx 3{,}79^\circ\mathrm{C}.
Checagem da hipótese: T_f\approx 3{,}79^\circ\mathrm{C}>0^\circ\mathrm{C}, portanto a suposição de que todo o gelo derreteu está correta e o procedimento acima é consistente.

Resposta

3{,}79^\circ\mathrm{C}

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