7.64 Calcule a temperatura final do sistema se adicionarmos 20 g de gelo a
a 100 g de água líquida a
em um frasco de Dewar (uma garrafa térmica); para a transformação
.
Passo 1
O que o problema pede e os dados fornecidos.
- Pedido: calcular a temperatura final do sistema depois de misturar gelo com água em um frasco isolado (Dewar).
- Dados fornecidos:
- massa de gelo:
. - temperatura inicial do gelo:
. - massa de água líquida:
. - temperatura inicial da água:
. - entalpia de fusão (sólido
líquido): . - capacidades molares a pressão constante:
- para gelo (sólido):
. - para água líquida:
.
- para gelo (sólido):
- massa molar da água (usada para converter g
mol): .
- massa de gelo:
O enunciado pede apenas a temperatura final do sistema; o frasco é isolado (não há troca de calor com o ambiente), logo a energia trocada entre gelo e água se conserva internamente.
Passo 2
Converter massas em número de mols e explicar por que.
- Para usar as capacidades molares e a entalpia por mol, converte-se massa
mols por - Número de mols do gelo:
- Número de mols da água líquida:
Esses
serão usados para calcular calores trocados com as fórmulas molares.
Passo 3
Planejar a sequência de processos térmicos (o que acontece com o gelo e com a água) e as fórmulas de calor.
Sequência física esperada (assumindo que todo o gelo pode derreter; checaremos essa hipótese depois):
- gelo aquece de
até ; - gelo em
sofre fusão (absorve por mol); - a água resultante da fusão aquece de
até a temperatura final ; - a água originalmente a
esfria de até .
Fórmulas que vamos usar (explicadas):
- calor para aquecer/refrigerar um número de mols
de uma substância com capacidade molar por uma variação de temperatura : Aqui é positivo se a substância ganha calor (aquecimento) e negativo se perde calor (resfriamento). - calor para fusão de
mols: Esse é positivo quando há fusão (absorção de calor).
Como o frasco é isolado, a soma algébrica de todos os calores trocados deve ser zero:
Passo 4
Calcular o calor necessário para aquecer o gelo de
até
.
Aplicamos
para o sólido:
-
, -
, -
.
Logo
Cálculo numérico:
Interpretação: o gelo precisa absorver cerca de
para ir de
a
.
Passo 5
Calcular o calor necessário para fundir todo o gelo (se for o caso).
Usamos
:
Cálculo numérico:
Interpretação: a fusão do gelo (tudo) exige cerca de
.
Passo 6
Expressar o calor para aquecer a água proveniente do gelo e o calor liberado pela água quente ao esfriar até
; montar a equação de balanço energético.
-
Calor para aquecer a água que vem do gelo (da fusão) de
até : Aquiestá em (ou K), como é diferença de temperatura a unidade é K. -
Calor liberado pela água inicialmente a
ao esfriar até : Observe queserá negativo se (o que é esperado), indicando perda de calor pela água quente.
Balanço de energia (soma algébrica = 0):
Agora substituímos as expressões e agrupamos termos em
:
Simplificando:
Portanto
Passo 7
Fazer os cálculos numéricos finais e checar a hipótese
.
Primeiro calculemos alguns termos numéricos:
-
. -
. -
. - Já temos
e .
Calcule
:
Calcule
:
Calcule o numerador:
Calcule o denominador
:
Finalmente,
Checagem da hipótese:
, portanto a suposição de que todo o gelo derreteu está correta e o procedimento acima é consistente.