2/64 A coordenada y de uma partícula em movimento curvilíneo é dada por
, em que x é em metros e t é em segundos. Além disso, a partícula tem uma aceleração na direção x dada por
. Se a velocidade da partícula na direção x é
quando
, calcule os módulos da velocidade
e da aceleração a da partícula quando
. Construa ve a na sua solução.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede coisas claras:
- A coordenada vertical da partícula é
(metros). - A aceleração na direção
é (m/s ). - A velocidade na direção
em é (m/s).
O que se pede: - Calcular o módulo da velocidade
da partícula em s. - Calcular o módulo da aceleração
da partícula em s.
Observação: também é solicitado construir os vetorese na solução (ou seja, determinar suas componentes em e ).
Passo 2
Conceito e estratégia prática (passo-a-passo, sem pânico):
- A velocidade é o vetor com componentes
e . - A aceleração é o vetor com componentes
e .
Aqui já sabemosdiretamente; para obter integramos . Para o eixo temos , então derivamos para obter e depois derivamos novamente para obter . Vou mostrar cada operação com calma.
Passo 3
Determinar
a partir de
e da condição inicial:
Integramos em relação a
:
onde
é a constante de integração. Usamos a condição
:
Portanto
Em
s:
Passo 4
Determinar
a partir de
:
A velocidade na direção
é a derivada:
Em
s:
Passo 5
Construir o vetor velocidade em
e calcular seu módulo:
O vetor velocidade é
O vetor velocidade é
Em
:
O módulo é
Valor numérico aproximado:
Passo 6
Determinar
(segunda derivada de
) e avaliar em
:
Já temos . Então
Já temos
Em
:
Também, lembrando
(fornecido).
Passo 7
Construir o vetor aceleração em
e calcular seu módulo:
O vetor aceleração é
O vetor aceleração é
Em
:
O módulo é
Simplificando
.
Valor numérico aproximado:
Valor numérico aproximado: