2/64 A coordenada y de uma partícula em movimento curvilíneo é dada por \mathrm{y}=4 \mathrm{t}^{3}-3 \mathrm{t}, em que x é em metros e t é em segundos. Além disso, a partícula tem uma aceleração na direção x dada por \mathrm{ax}=12 \mathrm{t} \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}. Se a velocidade da partícula na direção x é 4 \mathrm{~m} / \mathrm{s} quando \mathrm{t}=0, calcule os módulos da velocidade \mathbf{v} e da aceleração a da partícula quando \mathrm{t}=1 \mathrm{~s}. Construa ve a na sua solução.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede coisas claras:
  • A coordenada vertical da partícula é \displaystyle y(t)=4t^{3}-3t (metros).
  • A aceleração na direção x é \displaystyle a_x(t)=12t (m/s ^2).
  • A velocidade na direção x em t=0 é \displaystyle v_x(0)=4 (m/s).
    O que se pede:
  • Calcular o módulo da velocidade \lVert \mathbf{v}\rVert da partícula em t=1 s.
  • Calcular o módulo da aceleração \lVert \mathbf{a}\rVert da partícula em t=1 s.
    Observação: também é solicitado construir os vetores \mathbf{v} e \mathbf{a} na solução (ou seja, determinar suas componentes em x e y).

Passo 2

Conceito e estratégia prática (passo-a-passo, sem pânico):
  • A velocidade é o vetor com componentes v_x=\dfrac{dx}{dt} e v_y=\dfrac{dy}{dt}.
  • A aceleração é o vetor com componentes a_x=\dfrac{dv_x}{dt} e a_y=\dfrac{dv_y}{dt}.
    Aqui já sabemos a_x(t) diretamente; para obter v_x(t) integramos a_x. Para o eixo y temos y(t), então derivamos para obter v_y(t) e depois derivamos novamente para obter a_y(t). Vou mostrar cada operação com calma.

Passo 3

Determinar v_x(t) a partir de a_x(t) e da condição inicial:
a_x(t)=\frac{dv_x}{dt}=12t.
Integramos em relação a t:
v_x(t)=\int 12t\,dt = 6t^{2}+C,
onde C é a constante de integração. Usamos a condição v_x(0)=4:
v_x(0)=6\cdot0^{2}+C=4 \quad\Rightarrow\quad C=4.
Portanto
v_x(t)=6t^{2}+4.
Em t=1 s:
v_x(1)=6\cdot1^{2}+4=6+4=10\\ \text{m/s}.

Passo 4

Determinar v_y(t) a partir de y(t):
y(t)=4t^{3}-3t.
A velocidade na direção y é a derivada:
v_y(t)=\frac{dy}{dt}= \frac{d}{dt}\bigl(4t^{3}-3t\bigr)=12t^{2}-3.
Em t=1 s:
v_y(1)=12\cdot1^{2}-3=12-3=9\\ \text{m/s}.

Passo 5

Construir o vetor velocidade em t=1 e calcular seu módulo:
O vetor velocidade é
\mathbf{v}(t)=v_x(t)\,\mathbf{i}+v_y(t)\,\mathbf{j}.
Em t=1:
\mathbf{v}(1)=10\,\mathbf{i}+9\,\mathbf{j}\\ \text{(m/s)}.
O módulo é
\lVert \mathbf{v}(1)\rVert=\sqrt{v_x(1)^{2}+v_y(1)^{2}}=\sqrt{10^{2}+9^{2}}=\sqrt{100+81}=\sqrt{181}.
Valor numérico aproximado:
\sqrt{181}\approx 13,4536\\ \text{m/s}.

Passo 6

Determinar a_y(t) (segunda derivada de y) e avaliar em t=1:
Já temos v_y(t)=12t^{2}-3. Então
a_y(t)=\frac{dv_y}{dt}= \frac{d}{dt}\bigl(12t^{2}-3\bigr)=24t.
Em t=1:
a_y(1)=24\cdot1=24\\ \text{m/s}^{2}.
Também, lembrando a_x(1)=12\cdot1=12\\ \text{m/s}^{2} (fornecido).

Passo 7

Construir o vetor aceleração em t=1 e calcular seu módulo:
O vetor aceleração é
\mathbf{a}(t)=a_x(t)\,\mathbf{i}+a_y(t)\,\mathbf{j}.
Em t=1:
\mathbf{a}(1)=12\,\mathbf{i}+24\,\mathbf{j}\\ \text{(m/s}^{2}\text{)}.
O módulo é
\lVert \mathbf{a}(1)\rVert=\sqrt{12^{2}+24^{2}}=\sqrt{144+576}=\sqrt{720}.
Simplificando \sqrt{720}=\sqrt{144\cdot5}=12\sqrt{5}.
Valor numérico aproximado:
12\sqrt{5}\approx 26,8328\\ \text{m/s}^{2}.

Resposta

\lVert \mathbf{v}(1)\rVert=\sqrt{181}\\ \text{m/s}\approx 13,4536\\ \text{m/s}
\lVert \mathbf{a}(1)\rVert=12\sqrt{5}\\ \text{m/s}^{2}\approx 26,8328\\ \text{m/s}^{2}

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