T(x, y, z)=(9 x-6 y-3 z, y9+4 z, z),
e seja Q subset R^3 um paralelepípedo com volume 2. O volume do paralelepípedo transformado T(Q) :
(A) pode ser maior ou menor do que o volume de Q.
(B) é igual ao volume de Q.
© é menor do que o volume de Q.
(D) é maior do que o volume de Q.
(E) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear aplicada a um paralelepípedo no espaço tridimensional com volume igual a 2. A pergunta é para descobrir como o volume do paralelepípedo muda após essa transformação. Vamos precisar entender como transformações lineares afetam volumes e calcular o determinante da matriz associada à transformação .

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação A = 9 & -6 & -3 0 & 19 & 4 0 & 0 & 1 como uma matriz. Cada componente da transformação corresponde a uma combinação linear das coordenadas . Então, a matriz que representa é:

Passo 3

Para entender como o volume é afetado pela transformação, precisamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = 9 times ( 19 times 1 - 4 times 0 ) - (-6) times ( 0 times 1 - 4 times 0 ) + (-3) times ( 0 times 0 - 19 times 0 ) . O valor absoluto do determinante nos diz o fator pelo qual o volume original será multiplicado.
Vamos calcular o determinante de det(A) = 9 times 19 - (-6) times 0 + (-3) times 0 = 1 - 0 + 0 = 1 :
Simplificando:

Passo 4

O determinante calculado é 1. Isso significa que o fator de escala do volume é . Portanto, o volume do paralelepípedo transformado será igual ao volume original de multiplicado por 1.

Passo 5

Finalmente, aplicando o fator de escala ao volume original:
Volume de T(Q) = | det(A) | times Volume de Q = 1 times 2 = 2

Resposta

O volume do paralelepípedo transformado é igual ao volume de , que é 2. Portanto, a resposta correta é a opção (B).

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