65-72 Encontre todos os valores de x no intervalo [0,2 pi] que satisfaçam a equação.
3 cotg^2 x=1

Passo 1

Beleza, nesse exercício a gente precisa encontrar todos os valores de no intervalo de que resolvem a equação . Vamos usar trigonometria, especialmente a função cotangente, e aprender a resolver equações trigonométricas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação pra deixar o 3 cot^2(x) = 1 isolado. A equação inicial é:
cot^2(x) = 13
Dividindo os dois lados por 3, ficamos com:

Passo 3

Agora, para tirar o quadrado da cotangente, a gente tira a raiz quadrada dos dois lados. Lembrando que a raiz quadrada pode ser positiva ou negativa, temos:
cot(x) = pm 1raiz3

Passo 4

Vamos lembrar que tan(x) = pm raiz3 é igual a , mas é mais fácil pensar em termos de tangente. Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar os ângulos dentro de onde a tangente é ou . Sabendo que , as soluções vão estar nos quadrantes onde a tangente tem esses valores.

Passo 6

As soluções para x = pi3 acontecem no primeiro e terceiro quadrantes, e para x = pi3 + pi = 4pi3 no segundo e quarto quadrantes. Assim, temos:
  • Para x = 2pi3 :
    x = 2pi3 + pi = 5pi3
  • Para :

Resposta

Os valores de x = pi3, 2pi3, 4pi3, 5pi3 que satisfazem a equação no intervalo são:

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