65-72 Encontre todos os valores de
no intervalo
que satisfaçam a equação.
Passo 1
Beleza, nesse exercício a gente precisa encontrar todos os valores de
no intervalo de
que resolvem a equação
. Vamos usar trigonometria, especialmente a função cotangente, e aprender a resolver equações trigonométricas passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação pra deixar o
isolado. A equação inicial é:
Dividindo os dois lados por 3, ficamos com:
Passo 3
Agora, para tirar o quadrado da cotangente, a gente tira a raiz quadrada dos dois lados. Lembrando que a raiz quadrada pode ser positiva ou negativa, temos:
Passo 4
Vamos lembrar que
é igual a
, mas é mais fácil pensar em termos de tangente. Sabemos que
, então:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar os ângulos
dentro de
onde a tangente é
ou
. Sabendo que
, as soluções vão estar nos quadrantes onde a tangente tem esses valores.
Passo 6
As soluções para
acontecem no primeiro e terceiro quadrantes, e para
no segundo e quarto quadrantes. Assim, temos:
-
Para
: -
Para
:
Resposta
Os valores de
que satisfazem a equação no intervalo
são: