Data: 20/11/2024.
ATIVIDADE COMPLEMENTAR PARA PROVA 3 - pontuação máxima 4,0 pontos
Entrega: 27 / 11 / 2024 via Moodle - arquivo pdf
Sejam claros nas suas respostas e a interpretação geométrica faz parte da resolução. Isso não quer dizer que seu desenho deverá ser perfeito, quero apenas uma representação coerente.
Use coordenadas esféricas para montar a integral que permite calcular a massa do sólido simultaneamente interior a z=raizx^2+y^2 e x^2+y^2+z^2=4 sabendo que a função densidade é dada por d(x, y, z)=x^2+y^2+z^2.

Passo 1

A questão pede a massa de um sólido dado por duas superfícies: o cone definido por z=√(x²+y²) e a esfera x²+y²+z²=4, com densidade d(x,y,z)=x²+y²+z². Vamos usar coordenadas esféricas para montar o integral.

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos x=ρ sinφ cosθ, y=ρ sinφ sinθ e z=ρ cosφ. O cone z=√(x²+y²) vira ρ cosφ=ρ sinφ, ou seja φ=π/4. A esfera x²+y²+z²=4 vira ρ=2. O sólido está dentro da esfera e acima do cone, então ρ varia de 0 a 2, φ de 0 a π/4 e θ de 0 a 2π.

Passo 3

A densidade em esféricas é d=ρ² (pois x²+y²+z²=ρ²). O elemento de volume é dV=ρ² sinφ dρ dφ dθ. Logo o integrando massa é d·dV=ρ²·ρ² sinφ=ρ^4 sinφ.

Passo 4

Agora basta montar o integral triplo sobre os limites encontrados para calcular a massa do sólido.

Resposta

M=integral0^2piintegral0^pi/4integral0^2 rho^4,sinphi,drho,dphi,dtheta

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