65-72 Encontre todos os valores de x no intervalo [0,2 pi] que satisfaçam a equação.
|tg x|=1

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar todos os valores de no intervalo que satisfazem a equação . Para isso, vamos usar conhecimentos sobre funções trigonométricas, especificamente a função tangente ( ) e o valor absoluto. Precisaremos entender onde a tangente de é igual a 1 ou -1 dentro do intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o valor absoluto de um número é igual a 1 quando o próprio número é 1 ou -1. Então, a equação tan x = 1 ou tan x = -1 significa que:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de tan(pi4) = 1 onde x = pi4 + kpi onde k in Z . Sabemos que a tangente de é 1, ou seja:
Como a tangente é uma função periódica com período , os valores de que satisfazem são:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os valores de tan(3pi4) = -1 onde x = 3pi4 + kpi onde k in Z . Sabemos que a tangente de é -1, ou seja:
Novamente, considerando o período da tangente, os valores de que satisfazem são:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar todas as soluções dentro do intervalo x = pi4 . Vamos considerar os valores de x = pi4 + pi = 5pi4 que nos dão soluções dentro desse intervalo.
Para x = 3pi4 :
  • Quando x = 3pi4 + pi = 7pi4 :
  • Quando :
Para :
  • Quando :
  • Quando :

Resposta

Os valores de x = pi4, 3pi4, 5pi4, e 7pi4 no intervalo que satisfazem a equação são:

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