4.65 Considere um espaço de probabilidade infinito enumerável S=\left\{a_{1}, a_{2}, \ldots\right\}. Seja T=S^{n}=\left\{\left(s_{1}, s_{2}, \ldots, s_{n}\right): s_{i} \in S\right\} e seja P\left(s_{1}, s_{2}, \ldots, s_{n}\right)=P\left(s_{1}\right) P\left(s_{2}\right) \ldots P\left(s_{n}\right). Mostre que T é também um espaço de probabilidade infinito enumerável. (Isto generaliza a definição dos ensaios independentes para um espaço infinito enumerável.)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que precisa ser mostrado.
  • O enunciado dá um espaço de probabilidade infinito enumerável S=\{a_{1},a_{2},\ldots\}. Isso significa que existe uma enumeração dos pontos de S e que existe uma função P:S\to[0,1] tal que
\sum_{s\in S} P(s)=1.
  • Define-se T=S^{n}=\{(s_{1},s_{2},\ldots,s_{n}):s_{i}\in S\}. Para cada tupla t=(s_{1},\dots,s_{n})\in T define-se
P(t)=P(s_{1},\ldots,s_{n})=P(s_{1})P(s_{2})\cdots P(s_{n}).
  • O que precisa ser mostrado:
    1. Que T é também um espaço enumerável infinito (i.e., T pode ser enumerado como uma sequência infinita).
    2. Que a função P definida sobre T é uma distribuição de probabilidade em T: isto é, P(t)\ge 0 para todo t\in T e
    \sum_{t\in T} P(t)=1.

Passo 2

Mostrar que T=S^{n} é enumerável (contável) e infinito.
  • Definição usada (explicando): um conjunto é enumerável (contável) se existe uma bijeção ou ao menos uma surjeção de \mathbb{N} para esse conjunto; informalmente dá para listar todos os elementos numa sequência x_{1},x_{2},\ldots. Se S já foi dada como \{a_{1},a_{2},\ldots\}, então temos uma enumeração de S.
  • Observação simples: se S é infinito então T=S^{n} também é infinito (por exemplo, as tuplas (a_{1},a_{1},\dots,a_{1}), (a_{2},a_{1},\dots,a_{1}), (a_{3},a_{1},\dots,a_{1}),\ldots são infinitas e distintas).
  • Vamos mostrar que S^{n} é enumerável. Construção explícita: como S=\{a_{1},a_{2},\ldots\}, qualquer elemento de T é da forma (a_{i_{1}},a_{i_{2}},\ldots,a_{i_{n}}) com índices i_{k}\in\mathbb{N}. Logo existe uma aplicação natural
\Phi:\mathbb{N}^{n}\to S^{n},\qquad \Phi(i_{1},\ldots,i_{n})=(a_{i_{1}},\ldots,a_{i_{n}}),
que é sobrejetora. Portanto basta ver que \mathbb{N}^{n} é enumerável.
  • Prova que \mathbb{N}^{n} é enumerável (explicação didática): para n=1 é trivial. Para n=2 use o argumento diagonal (listar pares (1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),\ldots) que percorre as diagonais \{(i,j):i+j=k\}; isso enumera \mathbb{N}^{2}. Para n>2 procede-se por indução: se \mathbb{N}^{n-1} é enumerável então \mathbb{N}^{n-1}\times\mathbb{N} também é enumerável (use o mesmo tipo de enumeração por diagonais sobre o índice adicional), logo \mathbb{N}^{n} é enumerável. Alternativamente existe uma codificação usando potenciação de primos (cada tupla dá um número natural distinto), mas a ideia do argumento por diagonais/indução é suficiente e construtiva.
  • Conclusão: \mathbb{N}^{n} é enumerável e, pela sobrejeção \Phi, S^{n} é enumerável. Como já notado S^{n} é infinito. Logo T é um conjunto enumerável infinito.

Passo 3

Verificar que P(t)\ge 0 para todo t\in T.
  • Explicação didática: como P(s)\ge 0 para todo s\in S (propriedade de probabilidade no espaço original), o produto de n números não negativos também é não negativo. Para t=(s_{1},\ldots,s_{n}) temos
P(t)=P(s_{1})P(s_{2})\cdots P(s_{n})\ge 0.
  • Isto mostra a propriedade de não-negatividade exigida para uma medida de probabilidade.

Passo 4

Verificar que a soma das probabilidades sobre todas as tuplas de T é 1.
  • Objetivo: calcular \displaystyle \sum_{t\in T} P(t)=\sum_{(s_{1},\ldots,s_{n})\in S^{n}} P(s_{1})\cdots P(s_{n}) e mostrar que vale 1.
  • Estratégia e justificativa teórica (didática): os termos da soma são não-negativos, logo podemos usar soma iterada (o análogo discreto do Teorema de Fubini/Tonelli para séries não-negativas) e fatorar a soma em produto de somas. Em palavras: somar sobre todas as tuplas é o mesmo que realizar somas iteradas por coordena‑ da, e para termos não-negativos as ordens das somas podem ser trocadas sem problema.
  • Cálculo por indução em n:
    • Caso base n=1: trivialmente \sum_{s\in S} P(s)=1 (hipótese do enunciado).
    • Passo indutivo: suponha que para n-1 vale
    \sum_{(s_{1},\ldots,s_{n-1})\in S^{n-1}} P(s_{1})\cdots P(s_{n-1})=1.Considere n. Escrevendo soma iterada, \sum_{(s_{1},\ldots,s_{n})\in S^{n}} P(s_{1})\cdots P(s_{n}) =\sum_{s_{n}\in S}\Bigg(\sum_{(s_{1},\ldots,s_{n-1})\in S^{n-1}} P(s_{1})\cdots P(s_{n-1})\Bigg)P(s_{n}).Pela hipótese indutiva a soma interna é 1, logo o total fica \sum_{s_{n}\in S} 1\cdot P(s_{n})=\sum_{s_{n}\in S} P(s_{n})=1.Assim a soma sobre S^{n} é 1.
  • Alternativamente (mais direta), usando soma iterada e fatoração,
\sum_{(s_{1},\ldots,s_{n})\in S^{n}} \prod_{i=1}^{n} P(s_{i}) =\left(\sum_{s\in S} P(s)\right)\left(\sum_{s\in S} P(s)\right)\cdots\left(\sum_{s\in S} P(s)\right) =1^{n}=1,
com a justificativa de que para séries com termos não-negativos a soma do produto pode ser escrita como produto das somas.
  • Conclusão: \displaystyle \sum_{t\in T} P(t)=1.

Passo 5

Resumo final e observações práticas (didáticas, motivadoras).
  • Já provamos que T é enumerável infinito, que P(t)\ge0 para todo t\in T e que \sum_{t\in T}P(t)=1. Portanto T equipado com a função P é um espaço de probabilidade enumerável infinito.
  • Exemplo concreto para intuir: se S=\{a_{1},a_{2},\ldots\} tem probabilidades P(a_{i})=p_{i} com \sum_{i}p_{i}=1, então as probabilidades de pares (a_{i},a_{j}) são p_{i}p_{j} e a soma de todas as probabilidades dos pares é \sum_{i}\sum_{j}p_{i}p_{j}=(\sum_{i}p_{i})(\sum_{j}p_{j})=1. Isso generaliza direto para n-tuplas.
  • Mensagem final de ânimo: fica mais fácil na prova — basta lembrar que produto de probabilidades dá não-negativos e que somar sobre todas as tuplas se reduz a somas iteradas que se separam em produto das somas das marginais.

Resposta

T=S^{n} é enumerável infinito; para todo t\in T tem-se P(t)\ge 0 e
\sum_{t\in T} P(t)=\sum_{(s_{1},\ldots,s_{n})\in S^{n}} \prod_{i=1}^{n}P(s_{i})=1.

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