4.65 Considere um espaço de probabilidade infinito enumerável
. Seja
e seja
. Mostre que
é também um espaço de probabilidade infinito enumerável. (Isto generaliza a definição dos ensaios independentes para um espaço infinito enumerável.)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que precisa ser mostrado.
- O enunciado dá um espaço de probabilidade infinito enumerável
. Isso significa que existe uma enumeração dos pontos de e que existe uma função tal que
- Define-se
. Para cada tupla define-se
- O que precisa ser mostrado:
- Que
é também um espaço enumerável infinito (i.e., pode ser enumerado como uma sequência infinita). - Que a função
definida sobre é uma distribuição de probabilidade em : isto é, para todo e
- Que
Passo 2
Mostrar que
é enumerável (contável) e infinito.
- Definição usada (explicando): um conjunto é enumerável (contável) se existe uma bijeção ou ao menos uma surjeção de
para esse conjunto; informalmente dá para listar todos os elementos numa sequência . Se já foi dada como , então temos uma enumeração de . - Observação simples: se
é infinito então também é infinito (por exemplo, as tuplas são infinitas e distintas). - Vamos mostrar que
é enumerável. Construção explícita: como , qualquer elemento de é da forma com índices . Logo existe uma aplicação natural
que é sobrejetora. Portanto basta ver que
é enumerável.
- Prova que
é enumerável (explicação didática): para é trivial. Para use o argumento diagonal (listar pares ) que percorre as diagonais ; isso enumera . Para procede-se por indução: se é enumerável então também é enumerável (use o mesmo tipo de enumeração por diagonais sobre o índice adicional), logo é enumerável. Alternativamente existe uma codificação usando potenciação de primos (cada tupla dá um número natural distinto), mas a ideia do argumento por diagonais/indução é suficiente e construtiva. - Conclusão:
é enumerável e, pela sobrejeção , é enumerável. Como já notado é infinito. Logo é um conjunto enumerável infinito.
Passo 3
Verificar que
para todo
.
- Explicação didática: como
para todo (propriedade de probabilidade no espaço original), o produto de números não negativos também é não negativo. Para temos
- Isto mostra a propriedade de não-negatividade exigida para uma medida de probabilidade.
Passo 4
Verificar que a soma das probabilidades sobre todas as tuplas de
é
.
- Objetivo: calcular
e mostrar que vale . - Estratégia e justificativa teórica (didática): os termos da soma são não-negativos, logo podemos usar soma iterada (o análogo discreto do Teorema de Fubini/Tonelli para séries não-negativas) e fatorar a soma em produto de somas. Em palavras: somar sobre todas as tuplas é o mesmo que realizar somas iteradas por coordena‑ da, e para termos não-negativos as ordens das somas podem ser trocadas sem problema.
- Cálculo por indução em
: - Caso base
: trivialmente (hipótese do enunciado). - Passo indutivo: suponha que para
vale
Considere . Escrevendo soma iterada, Pela hipótese indutiva a soma interna é , logo o total fica Assim a soma sobre é . - Caso base
- Alternativamente (mais direta), usando soma iterada e fatoração,
com a justificativa de que para séries com termos não-negativos a soma do produto pode ser escrita como produto das somas.
- Conclusão:
.
Passo 5
Resumo final e observações práticas (didáticas, motivadoras).
- Já provamos que
é enumerável infinito, que para todo e que . Portanto equipado com a função é um espaço de probabilidade enumerável infinito. - Exemplo concreto para intuir: se
tem probabilidades com , então as probabilidades de pares são e a soma de todas as probabilidades dos pares é . Isso generaliza direto para -tuplas. - Mensagem final de ânimo: fica mais fácil na prova — basta lembrar que produto de probabilidades dá não-negativos e que somar sobre todas as tuplas se reduz a somas iteradas que se separam em produto das somas das marginais.