4.63 Um pistoleiro acerta (A) seu alvo com probabilidade 0,4 e portanto erra (E) com probabilidade 0,6. Ele atira quatro vezes. (i) Determine os elementos do evento
, em que “o homem acerta o alvo exatamente duas vezes”; e encontre
. (ii) Encontre a probabilidade de o homem acertar o alvo pelo menos uma vez.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Em cada tiro o homem acerta (evento
) com probabilidade e erra (evento ) com probabilidade . - Ele atira quatro vezes, e os tiros são independentes (a ocorrência num tiro não altera as probabilidades nos outros).
O enunciado pede: - (i) determinar os elementos do evento “o homem acerta exatamente duas vezes” (ou seja, listar todas as sequências de quatro tiros com exatamente duas ocorrências de
) e calcular para esse evento; - (ii) calcular a probabilidade de o homem acertar o alvo pelo menos uma vez em quatro tiros.
Passo 2
Identificar e contar as sequências com exatamente duas acertos.
- Cada resultado de quatro tiros pode ser representado por uma sequência de quatro símbolos
ou (ex.: ). - O evento "exatamente duas vezes
" consiste em todas as sequências de comprimento 4 que contêm exatamente dois símbolos e dois símbolos . - O número de maneiras de escolher quais dois tiros (entre 4) são acertos é dado pelo coeficiente binomial
Explicando cada termo:
(fatorial), logo
,
. Portanto
- Assim existem exatamente 6 sequências com dois
e dois . Vamos listá‑las explicitamente:
Passo 3
Calcular a probabilidade de cada sequência com dois
e dois
.
- Como os tiros são independentes, a probabilidade de uma sequência específica que contenha
acertos e erros é o produto das probabilidades em cada tiro. - Para
isso é
- Calculando passo a passo:
- Cada uma das 6 sequências tem probabilidade
.
Passo 4
Obter
somando as probabilidades das 6 sequências (ou multiplicando o número de sequências pelo valor de uma delas):
Expliquei antes por que usamos
: é a contagem das ordens distintas em que os dois acertos podem ocorrer.
Passo 5
Calcular a probabilidade de “acertar pelo menos uma vez”.
- É mais simples usar o complementar: “pelo menos uma vez” é o complemento do evento “nenhum acerto” (ou seja, 4 erros).
- A probabilidade de 4 erros é
. Calculando:
- Então a probabilidade procurada é
Resposta
(i)
\n
(ii)
(ii)