4.63 Um pistoleiro acerta (A) seu alvo com probabilidade 0,4 e portanto erra (E) com probabilidade 0,6. Ele atira quatro vezes. (i) Determine os elementos do evento A, em que “o homem acerta o alvo exatamente duas vezes”; e encontre P(A). (ii) Encontre a probabilidade de o homem acertar o alvo pelo menos uma vez.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Em cada tiro o homem acerta (evento A) com probabilidade 0,4 e erra (evento E) com probabilidade 0,6.
  • Ele atira quatro vezes, e os tiros são independentes (a ocorrência num tiro não altera as probabilidades nos outros).
    O enunciado pede:
  • (i) determinar os elementos do evento “o homem acerta exatamente duas vezes” (ou seja, listar todas as sequências de quatro tiros com exatamente duas ocorrências de A) e calcular P(A) para esse evento;
  • (ii) calcular a probabilidade de o homem acertar o alvo pelo menos uma vez em quatro tiros.

Passo 2

Identificar e contar as sequências com exatamente duas acertos.
  • Cada resultado de quatro tiros pode ser representado por uma sequência de quatro símbolos A ou E (ex.: (A,E,A,E)).
  • O evento "exatamente duas vezes A" consiste em todas as sequências de comprimento 4 que contêm exatamente dois símbolos A e dois símbolos E.
  • O número de maneiras de escolher quais dois tiros (entre 4) são acertos é dado pelo coeficiente binomial
\binom{4}{2}=\frac{4!}{2!\,2!}.
Explicando cada termo: n!=n(n-1)\cdots1 (fatorial), logo 4!=24, 2!=2. Portanto
\binom{4}{2}=\frac{24}{2\cdot2}=6.
  • Assim existem exatamente 6 sequências com dois A e dois E. Vamos listá‑las explicitamente:
(A,A,E,E),\quad (A,E,A,E),\quad (A,E,E,A),\quad (E,A,A,E),\quad (E,A,E,A),\quad (E,E,A,A).

Passo 3

Calcular a probabilidade de cada sequência com dois A e dois E.
  • Como os tiros são independentes, a probabilidade de uma sequência específica que contenha k acertos e 4-k erros é o produto das probabilidades em cada tiro.
  • Para k=2 isso é
(0,4)^2\cdot(0,6)^2.
  • Calculando passo a passo:
(0,4)^2=0,16,\qquad (0,6)^2=0,36,
0,16\cdot0,36=0,0576.
  • Cada uma das 6 sequências tem probabilidade 0,0576.

Passo 4

Obter P(A) somando as probabilidades das 6 sequências (ou multiplicando o número de sequências pelo valor de uma delas):
P(A)=\binom{4}{2}\cdot(0,4)^2\cdot(0,6)^2=6\cdot0,0576=0,3456.
Expliquei antes por que usamos \binom{4}{2}: é a contagem das ordens distintas em que os dois acertos podem ocorrer.

Passo 5

Calcular a probabilidade de “acertar pelo menos uma vez”.
  • É mais simples usar o complementar: “pelo menos uma vez” é o complemento do evento “nenhum acerto” (ou seja, 4 erros).
  • A probabilidade de 4 erros é (0,6)^4. Calculando:
(0,6)^2=0,36,\qquad (0,6)^4=(0,36)^2=0,1296.
  • Então a probabilidade procurada é
1-(0,6)^4=1-0,1296=0,8704.

Resposta

(i) A=\{(A,A,E,E),\,(A,E,A,E),\,(A,E,E,A),\,(E,A,A,E),\,(E,A,E,A),\,(E,E,A,A)\},\;P(A)=0,3456\n
(ii) P(\text{pelo menos uma vez})=0,8704

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