4.64 Um time vence (V) com probabilidade 0,5, perde § com probabilidade 0,3 e empata (E) com probabilidade 0,2 . O time joga duas vezes, (i) Determine o espaço amostral
e as probabilidades dos eventos elementares. (ii) Encontre a probabilidade de o time vencer pelo menos uma vez.
Passo 1
O enunciado dá as probabilidades, por jogo, de três resultados possíveis:
-
(vitória), -
(derrota — “perde”), -
(empate).
O time joga duas vezes. As perguntas são:
(i) Determinar o espaço amostral das duas partidas e as probabilidades dos eventos elementares (cada resultado em
).
(ii) Calcular a probabilidade de o time vencer pelo menos uma vez nas duas partidas.
(i) Determinar o espaço amostral
(ii) Calcular a probabilidade de o time vencer pelo menos uma vez nas duas partidas.
Passo 2
Construção do espaço amostral
.
Cada resultado é uma sequência ordenada (resultado no jogo 1, resultado no jogo 2). Como cada jogo pode ser ou
, os pares possíveis são:
Cada resultado é uma sequência ordenada (resultado no jogo 1, resultado no jogo 2). Como cada jogo pode ser
Aqui, por exemplo,
significa vitória no primeiro jogo e derrota no segundo.
Passo 3
Como obter as probabilidades dos eventos elementares.
Assumimos que os dois jogos são independentes (isto é, o resultado de um não altera as probabilidades do outro). Para eventos independentes vale a regra do produto:
Assumimos que os dois jogos são independentes (isto é, o resultado de um não altera as probabilidades do outro). Para eventos independentes vale a regra do produto:
Aplicando isso aos pares: a probabilidade de, por exemplo,
é
. Vou usar essa regra para calcular todas as probabilidades elementares.
Passo 4
Cálculo das probabilidades de cada elemento de
(multiplicando probabilidades dos resultados dos dois jogos):
- Para os que começam com
:
- Para os que começam com
:
- Para os que começam com
:
Passo 5
Verificação rápida (checar se as probabilidades somam
). Somando todos os elementos:
Boa — as probabilidades estão consistentes.
Passo 6
Probabilidade de “vencer pelo menos uma vez”.
É mais simples usar o complemento: o evento “vencer pelo menos uma vez” é o complementar do evento “não vencer nenhuma vez” (ou seja, não ocorrer em nenhum jogo).
É mais simples usar o complemento: o evento “vencer pelo menos uma vez” é o complementar do evento “não vencer nenhuma vez” (ou seja, não ocorrer
Calcule
.
Como os jogos são independentes,
Como os jogos são independentes,
Então, pelo complemento,
(Verificação alternativa: somar as probabilidades dos elementos de
que contêm pelo menos um
:
. A soma é
, concordando com o resultado anterior.)