4.64 Um time vence (V) com probabilidade 0,5, perde § com probabilidade 0,3 e empata (E) com probabilidade 0,2 . O time joga duas vezes, (i) Determine o espaço amostral S e as probabilidades dos eventos elementares. (ii) Encontre a probabilidade de o time vencer pelo menos uma vez.

Passo 1

O enunciado dá as probabilidades, por jogo, de três resultados possíveis:
  • P(\text{V})=0,5 (vitória),
  • P(\text{P})=0,3 (derrota — “perde”),
  • P(\text{E})=0,2 (empate).
O time joga duas vezes. As perguntas são:
(i) Determinar o espaço amostral S das duas partidas e as probabilidades dos eventos elementares (cada resultado em S).
(ii) Calcular a probabilidade de o time vencer pelo menos uma vez nas duas partidas.

Passo 2

Construção do espaço amostral S.
Cada resultado é uma sequência ordenada (resultado no jogo 1, resultado no jogo 2). Como cada jogo pode ser \text{V},\text{P} ou \text{E}, os pares possíveis são:
S=\{\text{VV},\\ \text{VP},\\ \text{VE},\\ \text{PV},\\ \text{PP},\\ \text{PE},\\ \text{EV},\\ \text{EP},\\ \text{EE}\}.
Aqui, por exemplo, \text{VP} significa vitória no primeiro jogo e derrota no segundo.

Passo 3

Como obter as probabilidades dos eventos elementares.
Assumimos que os dois jogos são independentes (isto é, o resultado de um não altera as probabilidades do outro). Para eventos independentes vale a regra do produto:
P(A\\ \text{e}\\ B)=P(A)\cdot P(B).
Aplicando isso aos pares: a probabilidade de, por exemplo, \text{VP} é P(\text{V})\cdot P(\text{P}). Vou usar essa regra para calcular todas as probabilidades elementares.

Passo 4

Cálculo das probabilidades de cada elemento de S (multiplicando probabilidades dos resultados dos dois jogos):
  • Para os que começam com \text{V}: P(\text{VV})=P(\text{V})\cdot P(\text{V})=0,5\cdot0,5=0,25,
P(\text{VP})=0,5\cdot0,3=0,15,
P(\text{VE})=0,5\cdot0,2=0,10.
  • Para os que começam com \text{P}: P(\text{PV})=0,3\cdot0,5=0,15,
P(\text{PP})=0,3\cdot0,3=0,09,
P(\text{PE})=0,3\cdot0,2=0,06.
  • Para os que começam com \text{E}: P(\text{EV})=0,2\cdot0,5=0,10,
P(\text{EP})=0,2\cdot0,3=0,06,
P(\text{EE})=0,2\cdot0,2=0,04.

Passo 5

Verificação rápida (checar se as probabilidades somam 1). Somando todos os elementos:
0,25+0,15+0,10+0,15+0,09+0,06+0,10+0,06+0,04=1.
Boa — as probabilidades estão consistentes.

Passo 6

Probabilidade de “vencer pelo menos uma vez”.
É mais simples usar o complemento: o evento “vencer pelo menos uma vez” é o complementar do evento “não vencer nenhuma vez” (ou seja, não ocorrer \text{V} em nenhum jogo).
Calcule P(\text{não V em um jogo})=1-P(\text{V})=1-0,5=0,5ã.
Como os jogos são independentes,
P(\text{nenhuma vitória nas duas})=0,5\cdot0,5=0,25.ó
Então, pelo complemento,
P(\text{pelo menos uma vitória})=1-0,25=0,75.ó
(Verificação alternativa: somar as probabilidades dos elementos de S que contêm pelo menos um \text{V}: \text{VV},\text{VP},\text{VE},\text{PV},\text{EV}. A soma é 0,25+0,15+0,10+0,15+0,10=0,75, concordando com o resultado anterior.)

Resposta

S=\{\text{VV},\text{VP},\text{VE},\text{PV},\text{PP},\text{PE},\text{EV},\text{EP},\text{EE}\} com
P(\text{VV})=0,25,\\ P(\text{VP})=0,15,\\ P(\text{VE})=0,10,\\ P(\text{PV})=0,15,\\ P(\text{PP})=0,09,\\ P(\text{PE})=0,06,\\ P(\text{EV})=0,10,\\ P(\text{EP})=0,06,\\ P(\text{EE})=0,04
P(\text{vencer pelo menos uma vez})=0,75

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