65 O palco de uma casa de espetáculos tem a forma de um círculo com 20 m de diâmetro. Após uma reforma, a superfície do palco circular teve seu diâmetro aumentado em 60 \%. De quanto foi acrescida, em porcentagem, a área do palco com essa reforma?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede. Dados do enunciado:
  • Diâmetro inicial do palco: D_1 = 20\\ \text{m}.
  • O diâmetro foi aumentado em 60\%.
O que o enunciado pede:
  • De quanto foi acrescida, em porcentagem, a área do palco após a reforma?

Passo 2

Entender relações geométricas básicas que vamos usar (sem resolver ainda).
  • O raio r de um círculo é metade do diâmetro: r=\dfrac{D}{2}.
  • A área A de um círculo é dada por:
A=\pi r^{2},
onde \pi é a constante (aprox. 3,1415\ldots) e r é o raio em metros.

Passo 3

Calcular o novo diâmetro e os respectivos raios.
  • O aumento de 60\% significa multiplicar o diâmetro por 1+0,60=1,60.
  • Portanto o novo diâmetro é
D_2 = D_1 \cdot 1,60 = 20\cdot 1,60 = 32\\ \text{m}.
  • Raios correspondentes:
r_1 = \dfrac{D_1}{2} = \dfrac{20}{2} = 10\\ \text{m}, \qquad r_2 = \dfrac{D_2}{2} = \dfrac{32}{2} = 16\\ \text{m}.

Passo 4

Calcular as áreas inicial e final usando A=\pi r^{2}.
  • Área inicial:
A_1 = \pi r_1^{2} = \pi\cdot 10^{2} = 100\pi.
  • Área final:
A_2 = \pi r_2^{2} = \pi\cdot 16^{2} = 256\pi.

Passo 5

Calcular o acréscimo absoluto e a porcentagem de aumento.
  • Acréscimo absoluto:
\Delta A = A_2 - A_1 = 256\pi - 100\pi = 156\pi.
  • Porcentagem de aumento (razão do acréscimo pela área inicial, vezes 100\%):
\text{Aumento \%} = \dfrac{\Delta A}{A_1}\cdot 100\% = \dfrac{156\pi}{100\pi}\cdot 100\% = \dfrac{156}{100}\cdot 100\% = 156\%.

Passo 6

Interpretação via fator de escala (visão alternativa, útil na prova):
  • Quando um comprimento linear é multiplicado por um fator k, a área é multiplicada por k^{2}.
  • Aqui k=1,60. Logo a área foi multiplicada por 1,60^{2}=2,56, ou seja, ficou 256\% da original, logo o aumento foi 256\%-100\%=156\%. Isso confirma o cálculo anterior.

Resposta

156%

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