(1,67 pt) No circuito da figura 4, use a análise das tensões de nó para montar um sistema na forma matricial, tendo como incógnitas as tensões de nó \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{a}}, \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{b}} e \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{c}}. (Não precisa calcular as tensões). Se você dispusesse dos valores das tensões de nó, como você calcularia as correntes \boldsymbol{i}_{\boldsymbol{a} \boldsymbol{b}} e \boldsymbol{i}_{\boldsymbol{b} \boldsymbol{c}} ?

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos disponível.
  • Pede: montar um sistema linear na forma matricial usando análise de tensões de nó, com incógnitas \(v_a, v_b e v_c). Não é preciso calcular as tensões, apenas montar o sistema.
  • Pede também: supondo que as tensões de nó fossem conhecidas, explicar como calcular as correntes \(i_{ab}) e \(i_{bc}).
  • Informação que falta: a figura 4 do enunciado (valores/elementos e ligações entre nós). Sem a figura não é possível colocar valores numéricos ou saber se há fontes de tensão ligadas entre nós (o que exigiria tratamento de supernó). Por isso não posso escrever entradas numéricas do sistema.
  • O que eu vou fazer: vou montar o sistema de forma completamente genérica, em função das condutâncias (ou resistências) presentes entre os nós e entre cada nó e o terra, e indicar a fórmula para \(i_{ab}) e \(i_{bc}). Esta forma genérica é exatamente o que se usa numa prova quando os valores não são dados ou quando se quer a montagem simbólica.

Passo 2

Breve aula sobre análise nodal e notação que vou usar (sem pular etapas).
  • Ideia básica da análise nodal: aplicar a Lei dos Correntes de Kirchhoff (KCL) em cada nó não referenciado (a soma algébrica das correntes que saem do nó deve ser igual à corrente injetada por fontes no nó).
  • Relação corrente-tensão em um resistor: pela Lei de Ohm, a corrente que vai do nó i ao nó j através de uma resistência R_{ij} vale
i_{ij}=\frac{v_i-v_j}{R_{ij}}.
  • É mais conveniente trabalhar com condutância (admitância real) definida por
G_{ij}=\frac{1}{R_{ij}}.
Então a mesma corrente pode ser escrita como
i_{ij}=(v_i-v_j)G_{ij}.
  • Convenção de sinal (vou usar esta aqui): i_{ij} positivo quando sai do nó i em direção ao nó j. Se preferir outra convenção, só ajustar o sinal nas fórmulas.

Passo 3

Escrevendo a KCL para cada nó (passo a passo, sem números).
  • Para o nó a: some todas as correntes que saem de a para seus vizinhos e para o terra. Supondo que existam condutâncias entre a e b ( G_{ab}), entre a e c ( G_{ac}) e entre a e o terra ( G_{a0}), além de uma fonte de corrente equivalente injetando I_a (positivo para corrente injetada no nó), a KCL é
(v_a-v_b)G_{ab} + (v_a-v_c)G_{ac} + v_a G_{a0} = I_a.
  • Expandindo e reunindo termos em função de v_a,v_b,v_c:
v_a\,(G_{a0}+G_{ab}+G_{ac}) \;-\; v_b\,G_{ab} \;-\; v_c\,G_{ac} \;=\; I_a.
  • Repetir para o nó b (supondo condutâncias G_{ab},G_{bc},G_{b0} e corrente injetada I_b):
(v_b-v_a)G_{ab} + (v_b-v_c)G_{bc} + v_b G_{b0} = I_b,
isto é,
- v_a\,G_{ab} + v_b\,(G_{b0}+G_{ab}+G_{bc}) - v_c\,G_{bc} = I_b.
  • Para o nó c (com G_{ac},G_{bc},G_{c0} e I_c):
(v_c-v_a)G_{ac} + (v_c-v_b)G_{bc} + v_c G_{c0} = I_c,
isto é,
- v_a\,G_{ac} - v_b\,G_{bc} + v_c\,(G_{c0}+G_{ac}+G_{bc}) = I_c.

Passo 4

Organizando numa forma matricial 3×3 (montagem final simbólica).
  • Colocando as três equações em forma matricial \mathbf{G}\,\mathbf{v}=\mathbf{I}, onde \mathbf{v}=(v_a,v_b,v_c)^T e \mathbf{I}=(I_a,I_b,I_c)^T, obtém-se
\begin{pmatrix} G_{a0}+G_{ab}+G_{ac} & -G_{ab} & -G_{ac} \\\\ -G_{ab} & G_{b0}+G_{ab}+G_{bc} & -G_{bc} \\\\ -G_{ac} & -G_{bc} & G_{c0}+G_{ac}+G_{bc} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_a \\\ v_b \\\ v_c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_a \\\ I_b \\\ I_c \end{pmatrix}.
  • Explicando cada termo: a entrada diagonal (por exemplo G_{a0}+G_{ab}+G_{ac}) é a soma de todas as condutâncias ligadas ao nó a (para terra e para outros nós). Uma entrada fora da diagonal ( -G_{ab}) é negativa da condutância entre os dois nós correspondentes. Esse é o padrão do chamado “matriz de admitâncias nodais” ou matriz de condução.

Passo 5

Observações sobre fontes de tensão e supernós (caso a figura as tenha).
  • Se a figura tivesse uma fonte de tensão ideal entre dois nós (por exemplo entre a e b), não se pode escrever diretamente a KCL em forma pura Gv=I sem criar um supernó ou introduzir equações adicionais (aumenta o sistema com uma equação que impõe a diferença de potencial da fonte). Como a figura não foi fornecida, não há como saber se isso é necessário. Se houver apenas resistores e fontes de corrente independentes para cada nó, a forma matricial acima é completa.

Passo 6

Como calcular \(i_{ab}) e \(i_{bc}) quando as tensões de nó forem conhecidas (aula prática).
  • Fórmula geral usando condutância:
i_{ab} = (v_a - v_b)\,G_{ab}, \qquad i_{bc} = (v_b - v_c)\,G_{bc}.
  • Mesma fórmula usando resistências:
i_{ab} = \frac{v_a - v_b}{R_{ab}}, \qquad i_{bc} = \frac{v_b - v_c}{R_{bc}}.
  • Lembrete de convenção: estas expressões dão a corrente no sentido do primeiro índice para o segundo (por exemplo i_{ab} positiva significa corrente saindo de a e entrando em b). Se preferir a corrente no sentido contrário, inverta o sinal.
  • Exemplo numérico rápido (hipotético, só para ver na prática): se v_a=10\,\text{V}, v_b=4\,\text{V} e R_{ab}=2\,\Omega, então
i_{ab}=\frac{10-4}{2}=3\\ \text{A}
no sentido a\to b.

Resposta

\begin{pmatrix} G_{a0}+G_{ab}+G_{ac} & -G_{ab} & -G_{ac} \\\\ -G_{ab} & G_{b0}+G_{ab}+G_{bc} & -G_{bc} \\\\ -G_{ac} & -G_{bc} & G_{c0}+G_{ac}+G_{bc} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_a \\\ v_b \\\ v_c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_a \\\ I_b \\\ I_c \end{pmatrix}
i_{ab}=(v_a-v_b)\,G_{ab}=\frac{v_a-v_b}{R_{ab}},\qquad i_{bc}=(v_b-v_c)\,G_{bc}=\frac{v_b-v_c}{R_{bc}}.

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