(
pt) Um resistor é feito de fio cilíndrico de constantana com
de diâmetro enrolado em torno de um cilindro de
de diâmetro. Quantas espiras do fio são necessárias para se obter uma resistência de
? Qual o comprimento mínimo da forma cilíndrica onde serão enroladas as espiras? Supõe-se que não haja espaçamento entre as espiras. Dado: resistividade da constantana
Ω.cm.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (pego do enunciado):
- resistência desejada:
. - diâmetro do fio de constantana:
. - diâmetro do cilindro onde o fio é enrolado:
. - resistividade da constantana:
. - supõe-se que não há espaçamento entre as espiras (ou seja, as espiras ficam lado a lado ao longo do comprimento do cilindro).
O enunciado pede:
- Quantas espiras do fio são necessárias para obter
. - Qual o comprimento mínimo da forma cilíndrica onde serão enroladas as espiras (isto é, o comprimento ocupado pelas espiras, sem espaços).
Passo 2
Primeiro converto todas as grandezas para unidades do Sistema Internacional (metros, ohm·metro etc.), porque as fórmulas de resistência que vamos usar exigem isso.
- Diâmetro do fio:
- Raio do fio:
- Diâmetro do cilindro:
- Resistividade (de
para ):
Passo 3
Explico a fórmula básica que vamos usar (aula rapidinha).
A resistência de um fio homogêneo e de seção constante é dada por
onde:
-
é a resistividade do material (aqui constantana) em ; -
é o comprimento do fio em metros; -
é a área da seção transversal do fio em metros quadrados.
Aqui queremos achar
necessário para obter
. Isolando
:
Passo 4
Calculo a área da seção transversal do fio (fio cilíndrico):
Passo 5
Agora calculo o comprimento total de fio necessário usando
.
Substituindo os valores:
Faço uma simplificação de potências:
, logo
Essa é uma forma exata. Agora a aproximação numérica:
Portanto o comprimento total de fio necessário é aproximadamente
.
Passo 6
Agora determinamos quantas espiras isso corresponde. Cada espira (uma volta completa) tem comprimento aproximadamente igual à circunferência do cilindro onde o fio é enrolado:
O número de espiras (pode ser não inteiro teoricamente, se considerarmos parte de uma volta) é
Interpretação prática: é necessário um comprimento de fio que equivale a aproximadamente
voltas. Como não se costuma contar uma fração de espira, isso significa:
- aproximadamente
espiras (se aceitarmos trabalhar com a fração da última espira), ou - para garantir que a resistência seja pelo menos
usando apenas espiras inteiras, seriam necessárias espiras.
Passo 7
Finalmente, calculo o comprimento mínimo da forma cilíndrica ocupado pelas espiras. As espiras são colocadas lado a lado sem espaçamento; cada espira ocupa ao longo do eixo um espaço igual ao diâmetro do fio
. Então o comprimento ocupado pelas
espiras é
Usando o valor não arredondado
(isto corresponde ao comprimento exato de fio que gera
):
Se preferirmos considerar apenas espiras inteiras:
- para
espiras: . - para
espiras: .