( \mathbf{1 , 6 7} pt) Um resistor é feito de fio cilíndrico de constantana com \mathbf{0 , 2 ~ m m} de diâmetro enrolado em torno de um cilindro de \boldsymbol{I} \boldsymbol{c m} de diâmetro. Quantas espiras do fio são necessárias para se obter uma resistência de 150 \Omega ? Qual o comprimento mínimo da forma cilíndrica onde serão enroladas as espiras? Supõe-se que não haja espaçamento entre as espiras. Dado: resistividade da constantana =\mathbf{4 9} \times \mathbf{1 0}^{-\mathbf{6}} Ω.cm.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (pego do enunciado):
  • resistência desejada: R=150\\ \Omega.
  • diâmetro do fio de constantana: d_{\text{fio}}=0{,}2\\ \text{mm}.
  • diâmetro do cilindro onde o fio é enrolado: D=1\\ \text{cm}.
  • resistividade da constantana: \rho=49\times10^{-6}\\ \Omega\cdot\text{cm}.
  • supõe-se que não há espaçamento entre as espiras (ou seja, as espiras ficam lado a lado ao longo do comprimento do cilindro).
O enunciado pede:
  1. Quantas espiras do fio são necessárias para obter 150\\ \Omega.
  2. Qual o comprimento mínimo da forma cilíndrica onde serão enroladas as espiras (isto é, o comprimento ocupado pelas espiras, sem espaços).

Passo 2

Primeiro converto todas as grandezas para unidades do Sistema Internacional (metros, ohm·metro etc.), porque as fórmulas de resistência que vamos usar exigem isso.
  • Diâmetro do fio:
d_{\text{fio}}=0{,}2\\ \text{mm}=0{,}2\times10^{-3}\\ \text{m}=2\times10^{-4}\\ \text{m}.
  • Raio do fio:
r_{\text{fio}}=\frac{d_{\text{fio}}}{2}=1\times10^{-4}\\ \text{m}.
  • Diâmetro do cilindro:
D=1\\ \text{cm}=1\times10^{-2}\\ \text{m}=0{,}01\\ \text{m}.
  • Resistividade (de \Omega\cdot\text{cm} para \Omega\cdot\text{m}):
\rho=49\times10^{-6}\\ \Omega\cdot\text{cm}=49\times10^{-6}\times10^{-2}\\ \Omega\cdot\text{m}=49\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\text{m}=4{,}9\times10^{-7}\\ \Omega\cdot\text{m}.

Passo 3

Explico a fórmula básica que vamos usar (aula rapidinha).
A resistência de um fio homogêneo e de seção constante é dada por
R=\frac{\rho\,L}{A},
onde:
  • \rho é a resistividade do material (aqui constantana) em \Omega\cdot\text{m};
  • L é o comprimento do fio em metros;
  • A é a área da seção transversal do fio em metros quadrados.
Aqui queremos achar L necessário para obter R=150\\ \Omega. Isolando L:
L=\frac{R\,A}{\rho}.

Passo 4

Calculo a área da seção transversal do fio (fio cilíndrico):
A=\pi r_{\text{fio}}^{2}=\pi\left(1\times10^{-4}\\ \text{m}\right)^{2}=\pi\times10^{-8}\\ \text{m}^{2}.

Passo 5

Agora calculo o comprimento total de fio necessário usando L=\dfrac{R A}{\rho}.
Substituindo os valores:
L=\frac{150\cdot\pi\times10^{-8}}{4{,}9\times10^{-7}}.
Faço uma simplificação de potências: 4{,}9\times10^{-7}=49\times10^{-8}, logo
L=\frac{150\pi\times10^{-8}}{49\times10^{-8}}=\frac{150\pi}{49}.
Essa é uma forma exata. Agora a aproximação numérica:
L\approx\frac{150}{49}\pi\approx3{,}06122449\times3{,}14159265\approx9{,}62\\ \text{m}.
Portanto o comprimento total de fio necessário é aproximadamente \,L\approx9{,}62\\ \text{m}.

Passo 6

Agora determinamos quantas espiras isso corresponde. Cada espira (uma volta completa) tem comprimento aproximadamente igual à circunferência do cilindro onde o fio é enrolado:
\text{comprimento por espira}=C=\pi D=\pi\times0{,}01\\ \text{m}=0{,}01\pi\\ \text{m}\approx0{,}031416\\ \text{m}.
O número de espiras (pode ser não inteiro teoricamente, se considerarmos parte de uma volta) é
N=\frac{L}{C}=\frac{9{,}62}{0{,}01\pi}=\frac{150\pi/49}{0{,}01\pi}=\frac{150}{0{,}49}\approx306{,}12.
Interpretação prática: é necessário um comprimento de fio que equivale a aproximadamente 306{,}12 voltas. Como não se costuma contar uma fração de espira, isso significa:
  • aproximadamente 306 espiras (se aceitarmos trabalhar com a fração da última espira), ou
  • para garantir que a resistência seja pelo menos 150\\ \Omega usando apenas espiras inteiras, seriam necessárias 307 espiras.

Passo 7

Finalmente, calculo o comprimento mínimo da forma cilíndrica ocupado pelas espiras. As espiras são colocadas lado a lado sem espaçamento; cada espira ocupa ao longo do eixo um espaço igual ao diâmetro do fio d_{\text{fio}}. Então o comprimento ocupado pelas N espiras é
L_{\text{forma}}=N\cdot d_{\text{fio}}.
Usando o valor não arredondado N\approx306{,}12 (isto corresponde ao comprimento exato de fio que gera 150\\ \Omega):
L_{\text{forma}}=306{,}12\times2\times10^{-4}\\ \text{m}=0{,}061224\\ \text{m}\approx6{,}12\\ \text{cm}.
Se preferirmos considerar apenas espiras inteiras:
  • para 306 espiras: L_{\text{forma}}=306\times0{,}0002\\ \text{m}=0{,}0612\\ \text{m}=6{,}12\\ \text{cm}.
  • para 307 espiras: L_{\text{forma}}=307\times0{,}0002\\ \text{m}=0{,}0614\\ \text{m}=6{,}14\\ \text{cm}.

Resposta

N\approx306{,}12 espiras \Rightarrow aproximadamente 306 espiras (se quiser espiras inteiras, usar 307 para garantir R\ge150\\ \Omega)
L_{\text{forma}}\approx6{,}12\\ \text{cm} (para 306 espiras; para 307 espiras fica 6{,}14\\ \text{cm}).

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