QUESTĂO 02 - Um mol de dióxido de carbono \left(\mathrm{CO}_{2}\right) passa por um processo de expansão: (0,5 ponto)
\begin{aligned} & \text { Estado inicial } \quad \text { Estado final } \\\ & \left(25^{\circ} \mathrm{C} .10 \mathrm{~L}\right) \rightarrow\left(25^{\circ} \mathrm{C} .50 \mathrm{~L}\right) \end{aligned}
a) Determine o trabalho produzido pelo \mathrm{CO}_{2}.
b) Determine a variação de energia interna.

Passo 1

O enunciado dá o seguinte processo para 1 mol de dióxido de carbono \mathrm{CO}_2:
  • Estado inicial: \,25^\circ\mathrm{C},\;10\\ \mathrm{L}\,.
  • Estado final: \,25^\circ\mathrm{C},\;50\\ \mathrm{L}\,.
O que se pede:
a) Determinar o trabalho produzido pelo \mathrm{CO}_2.
b) Determinar a variação da energia interna do gás.
Informações numéricas que vou usar (convertidas para unidades SI):
n=1,\qquad T=25^\circ\mathrm{C}=298{,}15\\ \mathrm{K},
V_i=10\\ \mathrm{L}=0{,}010\\ \mathrm{m^3},\qquad V_f=50\\ \mathrm{L}=0{,}050\\ \mathrm{m^3}.

Passo 2

Observação sobre o caminho do processo (importante para o trabalho): a temperatura é a mesma nos estados inicial e final, então trata-se de um processo isoterma ( T constante). Para calcular o trabalho numa expansão isotérmica de gás ideal, o caso mais comum nas questões é assumir que a expansão é quasi-estática (reversível). Vou seguir essa hipótese: expansão isotérmica reversível de gás ideal. Se o processo fosse irreversível com outra pressão externa, o trabalho seria diferente; aqui usaremos a fórmula padrão da isotérmica reversível.

Passo 3

Fórmula do trabalho para uma transformação isotérmica reversível de gás ideal:
Explicando a ideia passo a passo: o trabalho realizado pelo gás ao expandir de V_i para V_f é
W=\int_{V_i}^{V_f} P\,dV.
Para um gás ideal, a equação de estado é
P=\frac{nRT}{V},
onde:
  • P é a pressão,
  • n é o número de mols,
  • R é a constante universal dos gases ( R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}),
  • T é a temperatura absoluta em kelvin,
  • V é o volume.
Substituindo P na integral:
W=\int_{V_i}^{V_f}\frac{nRT}{V}\,dV=nRT\int_{V_i}^{V_f}\frac{dV}{V}=nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
Aqui W é o trabalho realizado pelo gás (sinal positivo quando o sistema faz trabalho sobre o ambiente).

Passo 4

Agora aplico a fórmula com os números dados. Primeiro calculo nRT:
nRT = 1\times 8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}\times 298{,}15\\ \mathrm{K}=2478{,}82\\ \mathrm{J}.
Calculo o fator logarítmico:
\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right)=\ln\!\left(\frac{0{,}050}{0{,}010}\right)=\ln(5)\approx 1{,}6094379.
Portanto o trabalho é
W = nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right)=2478{,}82\times 1{,}6094379\approx 3\,989{,}5\\ \mathrm{J}.
Arredondando de forma prática, dá aproximadamente 3{,}99\\ \mathrm{kJ}. Repare que é positivo: o gás produz (realiza) trabalho sobre o ambiente.

Passo 5

Verificação rápida (sanity check): posso também calcular as pressões inicial e final pela equação de estado para ver que são coerentes:
P_i=\frac{nRT}{V_i}=\frac{2478{,}82}{0{,}010}=247\,882\\ \mathrm{Pa}\approx 2{,}48\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa},
P_f=\frac{nRT}{V_f}=\frac{2478{,}82}{0{,}050}=49\,576\\ \mathrm{Pa}\approx 4{,}96\times 10^{4}\\ \mathrm{Pa}.
Esses valores mostram que a pressão cai ao aumentar o volume, como esperado.

Passo 6

Variação da energia interna: para um gás ideal a energia interna depende apenas da temperatura. Uma expressão útil é
\Delta U = n C_V \Delta T,
onde C_V é a capacidade calorífica molar a volume constante e \Delta T é a variação de temperatura. Aqui a transformação é isotérmica, logo \Delta T=0. Portanto
\Delta U = 0.
Outra forma de ver: pela primeira lei da termodinâmica,
\Delta U = Q - W.
Como \Delta U=0 para isotérmica de gás ideal, o calor recebido Q é igual ao trabalho realizado W.

Resposta

(a) W\approx 3{,}99\\ \mathrm{kJ}
(b) \Delta U=0\\ \mathrm{J}

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