69 Seja y=y(x) uma função derivável. Se y(3)=4 e e^{\left(x y-x^{2}-3\right)}=y^{2}-2 x^{2}+2, para todo x no domínio de y, então y ’ (3) é igual a
a) -1
b) -2 / 3
c) 6 / 7
d) 2
e) 3

Passo 1

O enunciado dá uma relação implícita entre x e y=y(x):
e^{\bigl(xy - x^2 -3\bigr)} \;=\; y^2 - 2x^2 + 2,
sabe-se que y(3)=4 e pede-se y'(3).
O conteúdo principal aqui é diferenciação implícita: vamos derivar ambos os lados em relação a x e depois avaliar em x=3,\;y=4.

Passo 2

Derivamos o lado esquerdo. Seja
u(x,y)=xy - x^2 -3,
então
\frac{d}{dx}\Bigl(e^{u(x,y)}\Bigr) = e^{u(x,y)}\cdot \frac{du}{dx}.
Como
\frac{du}{dx} =\frac{d}{dx}(xy) - \frac{d}{dx}(x^2) - 0 = \bigl(y + x\,y'\bigr) - 2x,
temos
\frac{d}{dx}\bigl[e^{(xy - x^2 -3)}\bigr] = e^{(xy - x^2 -3)}\,\bigl(y + x\,y' - 2x\bigr).

Passo 3

Derivamos o lado direito
\frac{d}{dx}\bigl(y^2 - 2x^2 + 2\bigr) = 2y\,y' - 4x.

Passo 4

Igualando as derivadas:
e^{(xy - x^2 -3)}\,(y + x\,y' - 2x) \;=\; 2y\,y' - 4x.
Agora avaliamos em x=3 e y(3)=4. Primeiro note que
xy - x^2 -3 \bigl|_{(3,4)} = 3\cdot4 - 9 - 3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad e^0 = 1.
Logo, em (3,4) a igualdade vira
1\cdot\bigl(4 + 3y' - 2\cdot3\bigr) = 2\cdot4\,y' - 4\cdot3,
ou seja
4 + 3y' - 6 = 8y' - 12.

Passo 5

Simplificando
3y' - 2 = 8y' - 12 \quad\Longrightarrow\quad 10 = 5y' \quad\Longrightarrow\quad y' = 2.

Resposta

A opção correta é 2, ou seja, letra (d).

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