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Defina intensidade luminosa. Como se calcula a intensidade luminosa em função da potência total da fonte?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Definir o que é intensidade luminosa.
  • Mostrar como calcular a intensidade luminosa a partir da potência total da fonte.
Não há números no enunciado, então vamos trabalhar com variáveis gerais e dar exemplos numéricos para fixar a ideia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as grandezas relevantes (cada símbolo abaixo está entre delimitadores TeX):
  • \!P: potência radiométrica total emitida pela fonte, em watts ( \mathrm{W}). Esta é a energia por unidade de tempo emitida em forma de radiação (toda a potência eletromagnética).
  • \!\Phi: fluxo luminoso emitido pela fonte, em lúmens ( \mathrm{lm}). É a medida da potência percebida pelo olho humano, ou seja, a potência radiométrica ponderada pela sensibilidade espectral do olho.
  • \!I: intensidade luminosa, em candelas ( \mathrm{cd}). É o fluxo luminoso por unidade de ângulo sólido na direção considerada.
  • \!\Omega: ângulo sólido em que a fonte emite luz, em esterradianos ( \mathrm{sr}). Para emissão uniforme em todas as direções, \Omega = 4\pi.
Explicação intuitiva (sem jargão técnico demais): pense em \Phi como “quantos lúmens saem da lâmpada por segundo” e em I como “quantos lúmens saem por segundo numa certa direção por cada unidade de ângulo”.

Passo 3

Agora a definição matemática e física de intensidade luminosa.
A intensidade luminosa é a quantidade de fluxo luminoso por unidade de ângulo sólido em uma determinada direção. Em fórmula:
I=\dfrac{\Phi}{\Omega}.
Aqui:
  • \Phi é o fluxo luminoso emitido no lóbulo/direção considerado (em \mathrm{lm});
  • \Omega é o ângulo sólido associado a essa emissão (em \mathrm{sr});
  • o quociente tem unidades de \dfrac{\mathrm{lm}}{\mathrm{sr}}=\mathrm{cd} (candela).
Comentário sobre a unidade candela: uma candela é definida como um lúmen por esterradiano. Então a fórmula acima é a definição operacional da intensidade luminosa.

Passo 4

Ligando potência total ( P) ao fluxo luminoso ( \Phi).
Nem toda potência radiométrica P vira “luz percebida” da mesma forma: depende do comprimento de onda (o olho humano é mais sensível a certas cores). Por isso introduzimos a eficiência luminosa espectral média da fonte — chamada aqui de eficácia luminosa média \eta_v (em \mathrm{lm/W}). Essa grandeza traduz quantos lúmens são gerados por watt de potência elétrica/radiométrica, já considerando a resposta do olho e a distribuição espectral da fonte.
A relação é:
\Phi = \eta_v \, P.
Observações importantes:
  • \eta_v depende da fonte (led, lâmpada incandescente, etc.) e do espectro emitido.
  • O valor máximo teórico para eficácia espectral, num comprimento de onda onde o olho é mais sensível (555 nm), é 683\\ \mathrm{lm/W}. Na prática \eta_v costuma ser bem menor, por exemplo lâmpadas incandescentes têm \eta_v da ordem de 10\\ \mathrm{lm/W} e LEDs eficientes podem chegar a 100\\ \mathrm{lm/W} ou mais.

Passo 5

Juntando as duas relações para obter intensidade em função da potência.
Substituindo \Phi=\eta_v P em I=\dfrac{\Phi}{\Omega} obtemos a fórmula geral:
I=\dfrac{\eta_v\,P}{\Omega}.
Casos úteis:
  • Fonte isotrópica (emite igualmente em todas as direções): \Omega=4\pi. Então
I=\dfrac{\eta_v\,P}{4\pi}.
  • Fonte direcional (ex.: emite dentro de um cone de semiângulo \theta): o ângulo sólido do cone é
\Omega_{\text{cone}}=2\pi\bigl(1-\cos\theta\bigr),
logo
I=\dfrac{\eta_v\,P}{2\pi\bigl(1-\cos\theta\bigr)}.

Passo 6

Exemplos numéricos curtos para fixar (todos os números são apresentados em TeX):
Exemplo 1 — emissão isotrópica:
  • P=1\\ \mathrm{W},
  • \eta_v=100\\ \mathrm{lm/W}.
Então \Phi=\eta_v P=100\\ \mathrm{lm} e
I=\dfrac{100}{4\pi}\\ \mathrm{cd}\approx 7{,}96\\ \mathrm{cd}.
Exemplo 2 — emissão dentro de um cono de semiângulo \theta=30^\circ:
  • P=1\\ \mathrm{W},
  • \eta_v=100\\ \mathrm{lm/W},
  • \cos 30^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}866.
Calcula-se \Omega=2\pi(1-0{,}866)\approx 0{,}842\\ \mathrm{sr}. Então
I=\dfrac{100}{0{,}842}\\ \mathrm{cd}\approx 119{,}0\\ \mathrm{cd}.
Esses exemplos mostram que, para mesma potência e mesma eficácia, uma emissão mais concentrada (menor \Omega) gera maior intensidade luminosa na direção do feixe.

Passo 7

Resumo prático (passos que faria na prova):
  1. Determinar ou estimar a eficácia luminosa média \eta_v da fonte ( \mathrm{lm/W}).
  2. Calcular \Phi=\eta_v P ( \mathrm{lm}).
  3. Determinar o ângulo sólido \Omega em que a potência é emitida (usar 4\pi para isotrópico ou 2\pi(1-\cos\theta) para cone).
  4. Calcular I=\dfrac{\Phi}{\Omega}=\dfrac{\eta_v P}{\Omega} (resultado em \mathrm{cd}).
Vai dar certo — respira fundo e pratica um exemplo ou dois desses antes da prova!

Resposta

Intensidade luminosa é o fluxo luminoso por unidade de ângulo sólido em uma dada direção, ou seja, I=\dfrac{\Phi}{\Omega}.
Em função da potência total P, usando a eficácia luminosa média \eta_v (em \mathrm{lm/W}), tem-se
I=\dfrac{\eta_v\,P}{\Omega},
e para fonte isotrópica \displaystyle I=\dfrac{\eta_v\,P}{4\pi}.

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