3.6D Em cada caso encontre a expansão de Taylor da função f em torno do ponto indicado.
f(x)=\frac{1}{2 x+1} ; a=3.

Passo 1

O enunciado pede a expansão de Taylor de
f(x)=\frac{1}{2x+1}
em torno de a=3.
O conteúdo que vamos usar é a série geométrica
\frac{1}{1+u}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}u^{n}, \quad |u|<1,
aplicada a uma transformação que coloque f(x) nessa forma.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
t=x-3,
de modo que
2x+1=2(t+3)+1=2t+7.
Logo
f(x)=\frac{1}{2x+1}=\frac{1}{2t+7}.

Passo 3

Colocamos em forma de série geométrica extraindo o fator 7:
\frac{1}{2t+7} =\frac{1}{7}\,\frac{1}{1+\frac{2}{7}t}.
Aqui identificamos u=\frac{2}{7}t=\frac{2}{7}(x-3).

Passo 4

Aplicando a expansão
\frac{1}{1+u} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}u^{n},
com u=\tfrac{2}{7}(x-3) e multiplicando por \tfrac{1}{7}, obtemos
f(x) =\frac{1}{7}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \Bigl(\tfrac{2}{7}(x-3)\Bigr)^{n}.

Passo 5

Escrevendo o termo geral, a expansão de Taylor em torno de x=3 é
f(x) =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{2^{n}}{7^{\,n+1}}(x-3)^{n}.

Resposta

\boxed{ \frac{1}{2x+1} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{2^{n}}{7^{\,n+1}}\,(x-3)^{n}, \quad |x-3|<\frac{7}{2}. }

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