3.6G Determine uma série de potências de x+1 para a função f(x)=e^{2 x} e uma série de potências de x-1 para g(x)=\ln x.

Passo 1

O enunciado pede duas séries de potências:
– Para f(x)=e^{2x} em torno de x=-1, isto é, em potências de x+1.
– Para g(x)=\ln x em torno de x=1, isto é, em potências de x-1.
Vamos usar a fórmula de Taylor (ou séries usuais) para e^z e para \ln(1+z).

Passo 2

Para f(x)=e^{2x} em torno de x=-1 façamos a mudança de variável
t = x + 1 \quad\Longrightarrow\quad x = t - 1.
Então
f(x) = e^{2x} = e^{2(t-1)} = e^{-2}\,e^{2t}.
Sabemos que
e^{2t} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2t)^n}{n!}.
Substituindo t=x+1, obtemos
e^{2x} = e^{-2}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{n!}\,(x+1)^n,
válido para todo x (série com raio de convergência infinito).

Passo 3

Para g(x)=\ln x em torno de x=1 façamos a mudança de variável
u = x - 1 \quad\Longrightarrow\quad x = 1 + u.
Então
g(x) = \ln x = \ln(1+u).
E a série conhecida é
\ln(1+u) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{\,n-1}\,\frac{u^n}{n},
válida para \lvert u\rvert<1. Substituindo u=x-1, resulta
\ln x = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{\,n-1}\,\frac{(x-1)^n}{n},\qquad |x-1|<1.

Resposta

Para f(x)=e^{2x} em potências de x+1:
e^{2x} = e^{-2}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{n!}\,(x+1)^n.
Para g(x)=\ln x em potências de x-1:
\ln x = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{\,n-1}\,\frac{(x-1)^n}{n},\quad |x-1|<1.

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