Exercícios Complementares 3.6
Represente as seguintes funções em séries de potências de x :
f(x)=e^{4-x}

Passo 1

O enunciado pede para escrever a função
f(x)=e^{4 - x}
como uma série de potências em x.
O conteúdo que vamos usar é a expansão de Maclaurin de e^t, isto é
e^t = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n!}.

Passo 2

Reescrevemos f(x) separando a parte constante de x:
f(x)=e^{4-x} = e^4 \, e^{-x}.

Passo 3

Aplicamos a série de Maclaurin com t=-x:
e^{-x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!}\,x^n.
Multiplicando por e^4, obtemos
f(x)=e^4 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!}\,x^n.

Resposta

\boxed{f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n e^4}{n!}\,x^n.}

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