3.6K Considere a função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por: f(x)=\exp \left(-1 / x^{2}\right), se x \neq 0, e f(0)=0. Usando indução pode-se mostrar, embora não seja tão simples, que f^{(n)}(0)=0, \forall n=0,1,2,3, \ldots A função f pode ser representada por uma Série de Maclaurin em uma vizinhança de x=0 ? É a função f analítica em x=0 ?

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} e^{-1/x^{2}},&x\neq0,\\\\ 0,&x=0, \end{cases}
e informa que todas as derivadas em 0 são nulas:
f^{(n)}(0)=0,\quad \forall n\ge0.
Queremos verificar se f admite representação por Série de Maclaurin numa vizinhança de 0 e, em consequência, se f é analítica em 0. Para isso, usaremos a definição de Série de Maclaurin e o conceito de função analítica.

Passo 2

A Série de Maclaurin de f em torno de 0 é dada por
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^{n}.
Como f^{(n)}(0)=0 para todo n, a soma torna-se
\sum_{n=0}^{\infty}0\cdot\frac{x^{n}}{n!}=0.

Passo 3

Essa série (idêntica a zero) converge para 0 para todo x\in\mathbb{R}. Logo, o valor da soma da série de Maclaurin é
S(x)\equiv0,\quad\forall x.

Passo 4

Porém, para x\neq0 temos
f(x)=e^{-1/x^{2}}>0,
enquanto S(x)=0. Portanto, em qualquer intervalo aberto que contenha 0, a série de Maclaurin não coincide com f(x) exceto no próprio ponto x=0.

Passo 5

Como função analítica deve coincidir com sua Série de Taylor (Maclaurin) em alguma vizinhança de 0, concluímos que f não é analítica em 0, embora seja C^{\infty}.

Resposta

Não. A Série de Maclaurin de f é identicamente zero, não coincide com f(x) para x\neq0 em nenhuma vizinhança de 0. Consequentemente, f não é analítica em x=0.

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