(6pts) Calcule as integrais
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule duas integrais definidas:
e
Informações relevantes dadas:
- Os limites de integração da primeira integral são
e . - Os limites da segunda integral são
e . - Na segunda integral aparece o fator
; isso é indefinido em se escrito literalmente, mas para simplifica para . Vou tratar isso explicitamente quando fizer a segunda integral.
Passo 2
Começo pela primeira integral fazendo a simplificação algébrica do integrando. Divido cada termo do numerador por
:
Agora simplifico cada fração:
Portanto o integrando fica
Passo 3
Vou usar duas propriedades básicas de integrais:
- linearidade: para constantes
e funções ,
ou seja, posso integrar termo a termo e puxar constantes para fora da integral.
2) regra da potência: para ,
2) regra da potência: para
e o caso
(função
) dá
Aqui
é a variável de integração e
é a constante de integração (não usada em integrais definidas, mas útil para formar primitivas).
Passo 4
Aplico essas regras para obter uma primitiva do integrando da primeira integral:
Agora calculo cada termo:
Assim uma primitiva
é
Passo 5
Avalio a integral definida usando
. Primeiro calculo
:
Depois
. Note que
e
, então
Agora
:
Calculo a diferença de frações:
. Então
Somando
. Portanto a primeira integral vale
Passo 6
Agora a segunda integral:
Observação importante: o fator
é igual a
para todo
(pois o
se cancela). Em
a expressão escrita com
é formalmente indefinida, mas isso é um ponto isolado; ao simplificar algebricamente para
obtemos uma função contínua que admite extensão por continuidade em
. Para integração em intervalo, mudar a expressão em um ponto isolado não altera o valor da integral. Logo posso simplificar o integrando para
Passo 7
Simplifico o integrando:
Aplico novamente linearidade e regra da potência para obter a primitiva:
Passo 8
Avalio de
a
. Para
:
Escrevo
como
e somo:
Para
a primitiva vale
. Portanto a segunda integral vale
.