(6pts) Calcule as integrais
\int_{1}^{2} \frac{2 x^{3}-x^{2}-3}{3 x^{3}} d x \quad \int_{0}^{2}\left(2 x^{2}+3\right)\left(1+4 x \frac{1}{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule duas integrais definidas:
\int_{1}^{2} \frac{2 x^{3}-x^{2}-3}{3 x^{3}}\,dx
e
\int_{0}^{2}\left(2 x^{2}+3\right)\left(1+4 x \frac{1}{x}\right)\,dx.
Informações relevantes dadas:
  • Os limites de integração da primeira integral são 1 e 2.
  • Os limites da segunda integral são 0 e 2.
  • Na segunda integral aparece o fator 4x\cdot\frac{1}{x}; isso é indefinido em x=0 se escrito literalmente, mas para x\neq0 simplifica para 4. Vou tratar isso explicitamente quando fizer a segunda integral.

Passo 2

Começo pela primeira integral fazendo a simplificação algébrica do integrando. Divido cada termo do numerador por 3x^3:
\frac{2 x^{3}-x^{2}-3}{3 x^{3}} = \frac{2x^{3}}{3x^{3}} - \frac{x^{2}}{3x^{3}} - \frac{3}{3x^{3}}.
Agora simplifico cada fração:
\frac{2x^{3}}{3x^{3}}=\frac{2}{3},\qquad \frac{x^{2}}{3x^{3}}=\frac{1}{3x},\qquad \frac{3}{3x^{3}}=\frac{1}{x^{3}}.
Portanto o integrando fica
\frac{2}{3}-\frac{1}{3x}-\frac{1}{x^{3}}.

Passo 3

Vou usar duas propriedades básicas de integrais:
  1. linearidade: para constantes a,b e funções f,g,
\int (a f(x) + b g(x))\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx,
ou seja, posso integrar termo a termo e puxar constantes para fora da integral.
2) regra da potência: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
e o caso n=-1 (função x^{-1}) dá
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C.
Aqui x é a variável de integração e C é a constante de integração (não usada em integrais definidas, mas útil para formar primitivas).

Passo 4

Aplico essas regras para obter uma primitiva do integrando da primeira integral:
\int\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{3x}-\frac{1}{x^{3}}\right)dx = \frac{2}{3}\int dx - \frac{1}{3}\int \frac{1}{x}\,dx - \int x^{-3}\,dx.
Agora calculo cada termo:
\frac{2}{3}\int dx = \frac{2}{3}x,
-\frac{1}{3}\int \frac{1}{x}\,dx = -\frac{1}{3}\ln|x|,
-\int x^{-3}\,dx = -\left(\frac{x^{-2}}{-2}\right)=\frac{1}{2x^{2}}.
Assim uma primitiva F(x) é
F(x)=\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}\ln|x|+\frac{1}{2x^{2}}.

Passo 5

Avalio a integral definida usando F(2)-F(1). Primeiro calculo F(2):
F(2)=\frac{2}{3}\cdot 2 - \frac{1}{3}\ln 2 + \frac{1}{2\cdot 2^{2}} = \frac{4}{3} - \frac{1}{3}\ln 2 + \frac{1}{8}.
Depois F(1). Note que \ln 1=0 e 1/(2\cdot1^{2})=1/2, então
F(1)=\frac{2}{3} - \frac{1}{3}\cdot 0 + \frac{1}{2} = \frac{2}{3}+\frac{1}{2}=\frac{7}{6}.
Agora F(2)-F(1):
\left(\frac{4}{3}+\frac{1}{8}-\frac{1}{3}\ln 2\right)-\frac{7}{6} = \left(\frac{4}{3}-\frac{7}{6}\right)+\frac{1}{8}-\frac{1}{3}\ln 2.
Calculo a diferença de frações: \frac{4}{3}-\frac{7}{6}=\frac{8}{6}-\frac{7}{6}=\frac{1}{6}. Então
\frac{1}{6}+\frac{1}{8}-\frac{1}{3}\ln 2.
Somando \frac{1}{6}+\frac{1}{8}=\frac{4}{24}+\frac{3}{24}=\frac{7}{24}. Portanto a primeira integral vale
\frac{7}{24}-\frac{1}{3}\ln 2.

Passo 6

Agora a segunda integral:
\int_{0}^{2}\left(2 x^{2}+3\right)\left(1+4 x \frac{1}{x}\right)dx.
Observação importante: o fator 4x\cdot\frac{1}{x} é igual a 4 para todo x\neq0 (pois o x se cancela). Em x=0 a expressão escrita com \frac{1}{x} é formalmente indefinida, mas isso é um ponto isolado; ao simplificar algebricamente para x\neq0 obtemos uma função contínua que admite extensão por continuidade em x=0. Para integração em intervalo, mudar a expressão em um ponto isolado não altera o valor da integral. Logo posso simplificar o integrando para
(2x^{2}+3)(1+4)=(2x^{2}+3)\cdot 5.

Passo 7

Simplifico o integrando:
(2x^{2}+3)\cdot 5 = 10x^{2}+15.
Aplico novamente linearidade e regra da potência para obter a primitiva:
\int (10x^{2}+15)\,dx = 10\int x^{2}\,dx + 15\int dx = 10\cdot\frac{x^{3}}{3} + 15x = \frac{10}{3}x^{3}+15x.

Passo 8

Avalio de 0 a 2. Para x=2:
\frac{10}{3}\cdot 2^{3} + 15\cdot 2 = \frac{10}{3}\cdot 8 + 30 = \frac{80}{3}+30.
Escrevo 30 como \frac{90}{3} e somo:
\frac{80}{3}+\frac{90}{3}=\frac{170}{3}.
Para x=0 a primitiva vale 0. Portanto a segunda integral vale \frac{170}{3}.

Resposta

\dfrac{7}{24}-\dfrac{1}{3}\ln 2
\dfrac{170}{3}

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