(18pts) Calcule as integrais
\int \frac{x^{2}+x-2}{x^{3}+x^{2}+x+1} d x \quad \int \frac{e^{1 / x^{4}}}{x^{9}} d x \quad \int x^{2} \operatorname{sen}(5 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular três integrais indefinidas. Vou escrever claramente cada uma delas e listar o que temos:
\text{(I)}\quad \int \frac{x^{2}+x-2}{x^{3}+x^{2}+x+1}\,dx
\text{(II)}\quad \int \frac{e^{1 / x^{4}}}{x^{9}}\,dx
\text{(III)}\quad \int x^{2}\operatorname{sen}(5x)\,dx
Informações relevantes que recebemos: cada integrando é uma função elementar e as técnicas usuais para essas formas são fatoração e frações parciais (I), substituição e integração por partes (II e III). Não há outros dados a considerar.

Passo 2

Resolvendo a integral (I). Primeiro observo o denominador e tento fatorar:
x^{3}+x^{2}+x+1.
Agrupando os termos, posso escrever
x^{3}+x^{2}+x+1=(x^{3}+x^{2})+(x+1)=x^{2}(x+1)+(x+1)=(x+1)(x^{2}+1).
Portanto o denominador fatorou em (x+1)(x^{2}+1). Como o numerador tem grau 2 (mesmo grau do fator quadrático), uso decomposição em frações parciais da forma
\frac{x^{2}+x-2}{(x+1)(x^{2}+1)}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^{2}+1},
onde A,B,C são constantes a determinar.

Passo 3

Vou encontrar A,B,C\). Multiplico ambos os lados por \((x+1)(x^{2}+1)\): \[x^{2}+x-2 = A(x^{2}+1)+(Bx+C)(x+1).
Expando o lado direito:
A(x^{2}+1)+(Bx+C)(x+1)=A x^{2}+A + Bx^{2}+Bx+Cx+C.
Reagrupando coeficientes:
x^{2}+x-2 = (A+B)x^{2} + (B+C)x + (A+C).
Comparando coeficientes termo a termo obtemos o sistema linear
\begin{cases} A+B = 1,\\[4pt] B+C = 1,\\[4pt] A+C = -2. \end{cases}
Resolve-se facilmente: da primeira B=1-A\]. Da terceira \(C=-2-A. Substituindo na segunda:
(1-A)+(-2-A)=1 \implies -1-2A=1 \implies -2A=2 \implies A=-1.
Então B=1-(-1)=2 e C=-2-(-1)=-1. Logo a decomposição é
\frac{x^{2}+x-2}{(x+1)(x^{2}+1)}=\frac{-1}{x+1}+\frac{2x-1}{x^{2}+1}.]

Passo 4

Agora integro termo a termo:
\int \frac{-1}{x+1}\,dx = -\ln|x+1| + C_1,
porque a primitiva de 1/(x+1) é \ln|x+1|.
Para a segunda parcela:
\int \frac{2x}{x^{2}+1}\,dx = \ln(x^{2}+1) + C_2,
pois \frac{d}{dx}(x^{2}+1)=2x, então é uma substituição direta.
E
\int \frac{-1}{x^{2}+1}\,dx = -\arctan x + C_3,
porque a primitiva de 1/(1+x^{2}) é \arctan x.
Somando tudo e agrupando constantes:
\int \frac{x^{2}+x-2}{x^{3}+x^{2}+x+1}\,dx = -\ln|x+1| + \ln(x^{2}+1) - \arctan x + C.
Uma forma compacta seria
\ln\!\left(\frac{x^{2}+1}{|x+1|}\right)-\arctan x + C.

Passo 5

Resolvendo a integral (II). Vou usar a substituição
u=\frac{1}{x^{4}}=x^{-4}.
Calculo du:
du = -4x^{-5}\,dx = -\frac{4}{x^{5}}\,dx.
Preciso escrever dx em função de du: dx = -\frac{x^{5}}{4}\,du. Agora substituo na integral original
\int \frac{e^{1/x^{4}}}{x^{9}}\,dx = \int e^{u}\cdot x^{-9}\cdot \left(-\frac{x^{5}}{4}\,du\right).
Simplificando potências de x:
x^{-9}\cdot x^{5} = x^{-4} = u.
Portanto a integral fica
\int \frac{e^{1/x^{4}}}{x^{9}}\,dx = -\frac{1}{4}\int u e^{u}\,du.

Passo 6

Integro \int u e^{u}\,du por partes. Lembro da fórmula de integração por partes: se U e V são funções, então
\int U\,dV = UV - \int V\,dU.
Aqui tomo U=u e dV=e^{u}du. Então dU=du e V=e^{u}. Assim
\int u e^{u}\,du = u e^{u} - \int e^{u}\,du = u e^{u} - e^{u} + C = e^{u}(u-1) + C.
Voltando para x com u=1/x^{4}, e multiplicando pelo fator -\tfrac{1}{4}:
\int \frac{e^{1/x^{4}}}{x^{9}}\,dx = -\frac{1}{4} e^{u}(u-1) + C = \frac{1}{4}e^{1/x^{4}}\bigl(1-\tfrac{1}{x^{4}}\bigr) + C.
(A forma alternativa -\tfrac{1}{4}e^{1/x^{4}}(\tfrac{1}{x^{4}}-1)+C é equivalente.)

Passo 7

Resolvendo a integral (III). Vou usar integração por partes porque temos produto de polinômio por função trigonométrica. Escolho as partes de maneira a reduzir o grau do polinômio: seja
u = x^{2}\quad\text{e}\quad dV = \operatorname{sen}(5x)\,dx.
Então
du = 2x\,dx\quad\text{e}\quad V = \int \operatorname{sen}(5x)\,dx = -\frac{1}{5}\cos(5x),
pois \frac{d}{dx}\cos(5x)=-5\sin(5x).
Aplicando integração por partes:
\int x^{2}\operatorname{sen}(5x)\,dx = uV - \int V\,du = -\frac{x^{2}}{5}\cos(5x) - \int \left(-\frac{1}{5}\cos(5x)\right)\cdot 2x\,dx.
Isto é
\int x^{2}\operatorname{sen}(5x)\,dx = -\frac{x^{2}}{5}\cos(5x) + \frac{2}{5}\int x\cos(5x)\,dx.

Passo 8

Agora preciso calcular \int x\cos(5x)\,dx. Faço outra integração por partes com
u_{1}=x,\quad dV_{1}=\cos(5x)\,dx.
Então
du_{1}=dx,\quad V_{1}=\int \cos(5x)\,dx = \frac{1}{5}\sin(5x).
Aplico partes:
\int x\cos(5x)\,dx = u_{1}V_{1} - \int V_{1}\,du_{1} = \frac{x}{5}\sin(5x) - \int \frac{1}{5}\sin(5x)\,dx.
A integral restante é direta:
\int \sin(5x)\,dx = -\frac{1}{5}\cos(5x),
portanto
\int x\cos(5x)\,dx = \frac{x}{5}\sin(5x) - \frac{1}{5}\left(-\frac{1}{5}\cos(5x)\right) = \frac{x}{5}\sin(5x) + \frac{1}{25}\cos(5x) + C.

Passo 9

Volto à expressão obtida em

Passo 10

\int x^{2}\operatorname{sen}(5x)\,dx = -\frac{x^{2}}{5}\cos(5x) + \frac{2}{5}\left(\frac{x}{5}\sin(5x) + \frac{1}{25}\cos(5x)\right) + C.
Distribuindo \frac{2}{5}:
\int x^{2}\operatorname{sen}(5x)\,dx = -\frac{x^{2}}{5}\cos(5x) + \frac{2x}{25}\sin(5x) + \frac{2}{125}\cos(5x) + C.
Se quiser combinar os termos com \cos(5x), dá:
\int x^{2}\operatorname{sen}(5x)\,dx = \frac{2-25x^{2}}{125}\cos(5x) + \frac{2x}{25}\sin(5x) + C,
que é a mesma primitiva reescrita.

Resposta

\int \frac{x^{2}+x-2}{x^{3}+x^{2}+x+1}\,dx = -\ln|x+1| + \ln(x^{2}+1) - \arctan x + C
\int \frac{e^{1 / x^{4}}}{x^{9}}\,dx = \frac{1}{4}e^{1/x^{4}}\!\left(1-\frac{1}{x^{4}}\right) + C
\int x^{2}\operatorname{sen}(5x)\,dx = -\frac{x^{2}}{5}\cos(5x) + \frac{2x}{25}\sin(5x) + \frac{2}{125}\cos(5x) + C

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