Informações relevantes que recebemos: cada integrando é uma função elementar e as técnicas usuais para essas formas são fatoração e frações parciais (I), substituição e integração por partes (II e III). Não há outros dados a considerar.
Passo 2
Resolvendo a integral (I). Primeiro observo o denominador e tento fatorar:
Portanto o denominador fatorou em (x+1)(x^{2}+1). Como o numerador tem grau 2 (mesmo grau do fator quadrático), uso decomposição em frações parciais da forma
\int \frac{e^{1/x^{4}}}{x^{9}}\,dx = -\frac{1}{4}\int u e^{u}\,du.
Passo 6
Integro \int u e^{u}\,du por partes. Lembro da fórmula de integração por partes: se U e V são funções, então
\int U\,dV = UV - \int V\,dU.
Aqui tomo U=u e dV=e^{u}du. Então dU=du e V=e^{u}. Assim
\int u e^{u}\,du = u e^{u} - \int e^{u}\,du = u e^{u} - e^{u} + C = e^{u}(u-1) + C.
Voltando para x com u=1/x^{4}, e multiplicando pelo fator -\tfrac{1}{4}:
\int \frac{e^{1/x^{4}}}{x^{9}}\,dx = -\frac{1}{4} e^{u}(u-1) + C = \frac{1}{4}e^{1/x^{4}}\bigl(1-\tfrac{1}{x^{4}}\bigr) + C.
(A forma alternativa -\tfrac{1}{4}e^{1/x^{4}}(\tfrac{1}{x^{4}}-1)+C é equivalente.)
Passo 7
Resolvendo a integral (III). Vou usar integração por partes porque temos produto de polinômio por função trigonométrica. Escolho as partes de maneira a reduzir o grau do polinômio: seja
u = x^{2}\quad\text{e}\quad dV = \operatorname{sen}(5x)\,dx.
Então
du = 2x\,dx\quad\text{e}\quad V = \int \operatorname{sen}(5x)\,dx = -\frac{1}{5}\cos(5x),
pois \frac{d}{dx}\cos(5x)=-5\sin(5x).
Aplicando integração por partes: