(7pts) Calcule a integral ou mostre que ela é divergente.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral ou mostrar que ela diverge:
Informações dadas que importam:
- O intervalo de integração é
. - A função integranda é
. - Note que
não está definida em (tende a ), então a integral é imprópria por possível singularidade no limite inferior . - A tarefa é decidir se a integral converge (e, se sim, calcular seu valor) ou provar que diverge.
Passo 2
Vamos transformar a integral imprópria em um limite para formalizar o que significa calcular:
Explico: como
tem problema em
, definimos a integral como o limite da integral sobre
quando
se aproxima de
pela direita. Se esse limite existir e for finito, dizemos que a integral converge e esse será o valor.
Passo 3
Qual método usar para calcular
? Uma boa escolha é integrar por partes, porque temos um produto envolvendo
(cuja derivada é simples) e uma potência de
(que é fácil de integrar).
Lembrete didático: regra de integração por partes (para integrais indefinidas)
onde
e
são funções de
,
é a derivada de
vezes
e
é uma primitiva de
. Para integrais definidas,
Aqui é conveniente escolher
como a parte que fica mais simples ao derivar (aqui
) e
como algo fácil de integrar (
).
Passo 4
Escolho:
Calculo
e
:
-
- Uma primitiva de
é (pois ).
Agora aplico a fórmula de partes na integral definida de
até
:
Passo 5
Simplifico a segunda integral:
Portanto
Passo 6
Avalio as partes fáceis: primeiro o termo explícito em
e
:
- Em
: - Em
: o termo é . Precisamos ver o comportamento quando .
Devemos calcular o limite
Mostro que esse limite é
. Uma forma direta é usar L’Hospital reescrevendo o produto como uma razão:
Quando
, o numerador
e o denominador
, portanto temos uma forma
e podemos aplicar L’Hospital. Derivando numerador e denominador (em relação a
):
- Derivada do numerador
é . - Derivada do denominador
é .
Assim o limite passa a ser
Logo
(Obs.: outra justificativa comum é a substituição
com
, que leva a termos do tipo
que também tendem a
.)
Passo 7
Agora volte à expressão completa e faça a passagem ao limite
. Temos visto que o termo de borda em
vai a
e o termo em
é
, então o colchete dá
. A outra integral é simples de calcular explicitamente:
Multiplicando por
e fazendo
(onde
), obtemos
Passo 8
Concluímos que o limite que define a integral imprópria existe e é finito; portanto a integral converge e seu valor é
.