(7pts) Calcule a integral ou mostre que ela é divergente.
\int_{0}^{1} \ln (x) x^{3} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral ou mostrar que ela diverge:
\int_{0}^{1} \ln(x)\, x^{3}\, dx.
Informações dadas que importam:
  • O intervalo de integração é [0,1].
  • A função integranda é x \mapsto \ln(x)\, x^{3}.
  • Note que \ln(x) não está definida em x=0 (tende a -\infty), então a integral é imprópria por possível singularidade no limite inferior 0.
  • A tarefa é decidir se a integral converge (e, se sim, calcular seu valor) ou provar que diverge.

Passo 2

Vamos transformar a integral imprópria em um limite para formalizar o que significa calcular:
\int_{0}^{1} \ln(x)\, x^{3}\, dx = \lim_{a\to 0^{+}} \int_{a}^{1} \ln(x)\, x^{3}\, dx.
Explico: como \ln(x) tem problema em 0, definimos a integral como o limite da integral sobre [a,1] quando a se aproxima de 0 pela direita. Se esse limite existir e for finito, dizemos que a integral converge e esse será o valor.

Passo 3

Qual método usar para calcular \int \ln(x)\, x^{3}\, dx? Uma boa escolha é integrar por partes, porque temos um produto envolvendo \ln(x) (cuja derivada é simples) e uma potência de x (que é fácil de integrar).
Lembrete didático: regra de integração por partes (para integrais indefinidas)
\int u\, dv = u v - \int v\, du,
onde u e v são funções de x, du é a derivada de u vezes dx e v é uma primitiva de dv. Para integrais definidas,
\int_{a}^{b} u\, dv = \bigl[u v\bigr]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} v\, du.
Aqui é conveniente escolher u como a parte que fica mais simples ao derivar (aqui \ln(x)) e dv como algo fácil de integrar ( x^{3}\,dx).

Passo 4

Escolho:
u = \ln(x),\qquad dv = x^{3}\, dx.
Calculo du e v:
  • du = \frac{d}{dx}\ln(x)\, dx = \frac{1}{x}\, dx.
  • Uma primitiva de x^{3} é v = \frac{x^{4}}{4} (pois \frac{d}{dx}\frac{x^{4}}{4}=x^{3}).
Agora aplico a fórmula de partes na integral definida de a até 1:
\int_{a}^{1} \ln(x)\, x^{3}\, dx = \left[\ln(x)\,\frac{x^{4}}{4}\right]_{a}^{1} - \int_{a}^{1} \frac{x^{4}}{4}\cdot\frac{1}{x}\, dx.

Passo 5

Simplifico a segunda integral:
\int_{a}^{1} \frac{x^{4}}{4}\cdot\frac{1}{x}\, dx = \frac{1}{4}\int_{a}^{1} x^{3}\, dx.
Portanto
\int_{a}^{1} \ln(x)\, x^{3}\, dx = \left[\ln(x)\,\frac{x^{4}}{4}\right]_{a}^{1} - \frac{1}{4}\int_{a}^{1} x^{3}\, dx.

Passo 6

Avalio as partes fáceis: primeiro o termo explícito em 1 e a:
  • Em x=1: \ln(1)\,\frac{1^{4}}{4} = 0\cdot\frac{1}{4}=0.
  • Em x=a: o termo é \ln(a)\,\frac{a^{4}}{4}. Precisamos ver o comportamento quando a\to 0^{+}.
Devemos calcular o limite
\lim_{a\to 0^{+}} \ln(a)\,\frac{a^{4}}{4}.
Mostro que esse limite é 0. Uma forma direta é usar L’Hospital reescrevendo o produto como uma razão:
\ln(a)\,\frac{a^{4}}{4} = \frac{\ln(a)}{4 a^{-4}}.
Quando a\to 0^{+}, o numerador \ln(a)\to -\infty e o denominador 4 a^{-4}\to +\infty, portanto temos uma forma -\infty/\infty e podemos aplicar L’Hospital. Derivando numerador e denominador (em relação a a):
  • Derivada do numerador \ln(a) é 1/a.
  • Derivada do denominador 4 a^{-4} é 4\cdot(-4)a^{-5}=-16 a^{-5}.
Assim o limite passa a ser
\lim_{a\to 0^{+}} \frac{1/a}{-16 a^{-5}} = \lim_{a\to 0^{+}} \frac{1}{a}\cdot\frac{-a^{5}}{16} = \lim_{a\to 0^{+}} -\frac{a^{4}}{16} = 0.
Logo
\lim_{a\to 0^{+}} \ln(a)\,\frac{a^{4}}{4} = 0.
(Obs.: outra justificativa comum é a substituição a=e^{-t} com t\to+\infty, que leva a termos do tipo -t e^{-4t} que também tendem a 0.)

Passo 7

Agora volte à expressão completa e faça a passagem ao limite a\to 0^{+}. Temos visto que o termo de borda em a vai a 0 e o termo em 1 é 0, então o colchete dá 0-0=0. A outra integral é simples de calcular explicitamente:
\int_{a}^{1} x^{3}\, dx = \left[\frac{x^{4}}{4}\right]_{a}^{1} = \frac{1^{4}}{4} - \frac{a^{4}}{4}.
Multiplicando por -\tfrac{1}{4} e fazendo a\to 0^{+} (onde a^{4}\to 0), obtemos
\lim_{a\to 0^{+}}\left(-\frac{1}{4}\int_{a}^{1} x^{3}\, dx\right) = -\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4} = -\frac{1}{16}.

Passo 8

Concluímos que o limite que define a integral imprópria existe e é finito; portanto a integral converge e seu valor é -\tfrac{1}{16}.

Resposta

-\frac{1}{16}

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