(1,6pts) Resolva as EDOs de primeira ordem:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária de primeira ordem
e pede resolver (ou seja, encontrar a solução geral
). Observação importante: a equação envolve
, então
é um ponto singulare — a solução será válida em intervalos onde
.
Passo 2
Vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
identificando aqui
Técnica que vamos usar: fator integrante. Explico didaticamente o porquê e como funciona.
Passo 3
Ideia do fator integrante: procurar uma função
tal que, ao multiplicar a equação original por
, o lado esquerdo vire a derivada do produto
. Ou seja, queremos
Pelo produto (regra de Leibniz),
. Comparando com o lado esquerdo, devemos ter
. Isso é uma equação diferencial simples para
:
Integrando ambos os lados dá a fórmula padrão do fator integrante:
Passo 4
Calcular o fator integrante no caso concreto. Como
,
Usando
. Em intervalos onde
podemos escolher
(sinal não afeta a derivada integrada). Assim tomamos
Passo 5
Multiplicando a equação original por
obtemos
Simplificando os termos:
Pelo motivo do fator integrante, o lado esquerdo é exatamente a derivada de
. Portanto
Passo 6
Integrar ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo dá
. A integral do lado direito é
Adiciona-se a constante de integração
. Logo
Passo 7
Isolar
:
Aqui
é uma constante arbitrária. Relembro que essa expressão é válida para
, e as soluções definidas em intervalos que não cruzem
têm essa forma.
Passo 8
Interpretação final e verificação rápida (como checagem): a solução geral é a soma da solução particular
(verifica-se substituindo na equação) e da solução da homogênea
. Isso coincide com o resultado encontrado acima.