(1,6pts) Resolva as EDOs de primeira ordem:
\frac{d y}{d t}+\frac{2}{t} y=5 t^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária de primeira ordem
\frac{d y}{d t} + \frac{2}{t}\,y = 5 t^{2},
e pede resolver (ou seja, encontrar a solução geral y(t)). Observação importante: a equação envolve \frac{2}{t}, então t=0 é um ponto singulare — a solução será válida em intervalos onde t\neq0.

Passo 2

Vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
\frac{d y}{d t} + p(t)\,y = q(t),
identificando aqui
p(t)=\frac{2}{t},\qquad q(t)=5t^{2}.
Técnica que vamos usar: fator integrante. Explico didaticamente o porquê e como funciona.

Passo 3

Ideia do fator integrante: procurar uma função \mu(t) tal que, ao multiplicar a equação original por \mu(t), o lado esquerdo vire a derivada do produto \mu(t)y. Ou seja, queremos
\mu(t)\frac{d y}{d t} + \mu(t)p(t)y = \frac{d}{d t}\big(\mu(t)y\big).
Pelo produto (regra de Leibniz), \dfrac{d}{d t}\big(\mu y\big)=\mu\,\dfrac{d y}{d t} + \mu'\,y. Comparando com o lado esquerdo, devemos ter \mu'(t)=\mu(t)p(t). Isso é uma equação diferencial simples para \mu:
\frac{\mu'(t)}{\mu(t)}=p(t).
Integrando ambos os lados dá a fórmula padrão do fator integrante:
\mu(t)=\exp\!\Big(\int p(t)\,dt\Big).

Passo 4

Calcular o fator integrante no caso concreto. Como p(t)=\dfrac{2}{t},
\mu(t)=\exp\!\Big(\int \frac{2}{t}\,dt\Big)=\exp\!\big(2\ln|t|\big).
Usando \exp(2\ln|t|)=|t|^{2}. Em intervalos onde t\neq0 podemos escolher \mu(t)=t^{2} (sinal não afeta a derivada integrada). Assim tomamos
\mu(t)=t^{2}.

Passo 5

Multiplicando a equação original por \mu(t)=t^{2} obtemos
t^{2}\frac{d y}{d t} + t^{2}\cdot\frac{2}{t}\,y = t^{2}\cdot 5t^{2}.
Simplificando os termos:
t^{2}\frac{d y}{d t} + 2t\,y = 5 t^{4}.
Pelo motivo do fator integrante, o lado esquerdo é exatamente a derivada de t^{2}y. Portanto
\frac{d}{d t}\big(t^{2}y\big)=5 t^{4}.

Passo 6

Integrar ambos os lados em relação a t:
\int \frac{d}{d t}\big(t^{2}y\big)\,dt = \int 5 t^{4}\,dt.
A integral do lado esquerdo dá t^{2}y. A integral do lado direito é
\int 5 t^{4}\,dt = 5\cdot\frac{t^{5}}{5}=t^{5}.
Adiciona-se a constante de integração C. Logo
t^{2}y = t^{5} + C.

Passo 7

Isolar y:
y(t)=\frac{t^{5}+C}{t^{2}} = t^{3} + C\,t^{-2}.
Aqui C é uma constante arbitrária. Relembro que essa expressão é válida para t\neq0, e as soluções definidas em intervalos que não cruzem t=0 têm essa forma.

Passo 8

Interpretação final e verificação rápida (como checagem): a solução geral é a soma da solução particular y_{p}(t)=t^{3} (verifica-se substituindo na equação) e da solução da homogênea y_{h}(t)=C t^{-2}. Isso coincide com o resultado encontrado acima.

Resposta

y(t)=t^{3}+C\,t^{-2}, com t\neq0 e C constante.

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