QUESTÃO 9

Em uma linha de tubulação industrial para transporte de fluidos, uma chapa de aço SAE 1020 deve ser fixada por dois parafusos submetidos a uma carga de tração de F=24 \mathrm{kN}. A norma interna da empresa exige que a carga seja distribuída igualmente entre os parafusos e adota tensão admissível ao cisalhamento de 100 MPa . O engenheiro precisa dimensionar os
parafusos antes da emissão do desenho de fabricação.
Com base nas condições estabelecidas:
a) Calcule a força em cada parafuso.
b) Determine o diâmetro mínimo dos parafusos.
c) Indique o parafuso métrico comercial mais adequado e justifique a escolha.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Carga total aplicada na chapa: \,F = 24\\ \mathrm{kN}.
  • Dois parafusos fixam a chapa e a norma exige que a carga seja distribuída igualmente entre eles.
  • Tensão admissível ao cisalhamento: \,\tau_{\text{adm}} = 100\\ \mathrm{MPa}.
Perguntas:
a) Calcular a força que atua em cada parafuso.
b) Determinar o diâmetro mínimo dos parafusos (para que a tensão de cisalhamento não exceda \tau_{\text{adm}}).
c) Indicar o parafuso métrico comercial mais adequado e justificar.
Observação importante (hipótese que vou adotar, explicada mais adiante): vou considerar que cada parafuso está sujeito a uma única superfície de cisalhamento (cisalhamento simples) e que a área resistindo ao cisalhamento é a área circular do eixo do parafuso \,A=\dfrac{\pi d^{2}}{4}. Se, na montagem real, a superfície de cisalhamento passar pela região roscada, a área efetiva é menor (área de tensão de cálculo da rosca) e o dimensionamento precisa ser revisto — eu traterei desse caso ao final.

Passo 2

Calcular a força em cada parafuso (parte a).
Raciocínio e fórmula: como a carga total é dividida igualmente entre dois parafusos, cada parafuso carrega metade da força total. Se F é a força total e n o número de parafusos, então a força por parafuso é
F_{\text{parafuso}}=\frac{F}{n}.
Aplicando com F=24\\ \mathrm{kN} e n=2:
F_{\text{parafuso}}=\frac{24\\ \mathrm{kN}}{2}=12\\ \mathrm{kN} = 12{,}000\\ \mathrm{N}.
Explicação didática curta: repartir igualmente é direto — metade da carga para cada parafuso.

Passo 3

Explicar a relação tensão-cisalhamento que vou usar para dimensionar o diâmetro (teoria necessária).
Definição: tensão de cisalhamento média em uma seção é
\tau=\frac{F_{\text{parafuso}}}{A},
onde
  • \tau é a tensão de cisalhamento média (N/m ^2 ou Pa),
  • F_{\text{parafuso}} é a força transmissível pelo parafuso (N),
  • A é a área da seção que resiste ao cisalhamento (m ^2).
Para um parafuso cujo eixo tem diâmetro d e se admite que o cisalhamento ocorre na parte lisa/inteira do eixo (não na rosca), a área é a área circular:
A=\frac{\pi d^{2}}{4}.
Condição de segurança: para que a tensão não exceda a admissível, deve valer
\tau = \frac{F_{\text{parafuso}}}{\pi d^{2}/4} \le \tau_{\text{adm}}.
Isolando d para obter o diâmetro mínimo:
\frac{F_{\text{parafuso}}}{\pi d^{2}/4} \le \tau_{\text{adm}} \quad\Longrightarrow\quad d \ge \sqrt{\frac{4 F_{\text{parafuso}}}{\pi \tau_{\text{adm}}}}.
Explicação concreta: essa fórmula vem de substituir a área circular na definição de tensão; a raiz quadrada aparece porque a área cresce com d^{2}.

Passo 4

Calcular o diâmetro mínimo usando os valores numéricos (parte b).
Substituindo F_{\text{parafuso}}=12{,}000\\ \mathrm{N} e \tau_{\text{adm}}=100\\ \mathrm{MPa}=100\times10^{6}\\ \mathrm{N/m^{2}} na fórmula:
d_{\min}=\sqrt{\frac{4\cdot 12{,}000}{\pi\cdot 100\times10^{6}}}.
Fazendo as contas passo a passo:
4\cdot 12{,}000 = 48{,}000,
\pi\cdot 100\times10^{6}\approx 3{,}14159265\times 10^{8},
\frac{48{,}000}{\pi\cdot 100\times10^{6}}\approx 1{,}5279\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}},
d_{\min}=\sqrt{1{,}5279\times10^{-4}}\\ \mathrm{m}\approx 0{,}01236\\ \mathrm{m}=12{,}36\\ \mathrm{mm}.
Interpretação: o diâmetro mínimo do eixo do parafuso, supondo cisalhamento pela seção circular do eixo, é \,d_{\min}\approx 12{,}36\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

Escolha do parafuso métrico comercial e justificativa (parte c).
Situação prática: os diâmetros comerciais padrão ISO (rosca grossa) são, entre outros, \, \mathrm{M10},\\ \mathrm{M12},\\ \mathrm{M14},\\ \mathrm{M16},\dots O diâmetro nominal é o valor d (por ex. \mathrm{M14} tem d=14\\ \mathrm{mm}).
Como d_{\min}=12{,}36\\ \mathrm{mm}, o próximo diâmetro comercial padrão acima desse valor é \mathrm{M14} ( d=14\\ \mathrm{mm}). Então, inicialmente, a escolha natural é um parafuso \mathrm{M14}.
Vou verificar a tensão de cisalhamento real com \mathrm{M14} assumindo cisalhamento na parte lisa do eixo (área \pi d^{2}/4) para confirmar que fica abaixo de \tau_{\text{adm}}.
Cálculo da área e da tensão:
A_{\mathrm{M14}}=\frac{\pi (0{,}014)^{2}}{4}\\ \mathrm{m^{2}}\approx 1{,}539\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}},
\tau_{\mathrm{M14}}=\frac{12{,}000}{1{,}539\times10^{-4}}\\ \mathrm{Pa}\approx 7{,}80\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}=78{,}0\\ \mathrm{MPa}.
Resultado: \tau_{\mathrm{M14}}\approx 78{,}0\\ \mathrm{MPa}<100\\ \mathrm{MPa}. Portanto, se o cisalhamento ocorrer na seção lisa do eixo (não na rosca), \mathrm{M14} satisfaz a condição de tensão admissível e é adequado.

Passo 6

Observação prática e alternativa (segurança e rosca).
Explicação didática: na prática, é comum a superfície de cisalhamento poder coincidir com a região roscada do parafuso (por exemplo quando a porca ou chapa fica alinhada naquela posição). A rosca tem área efetiva menor (área de tensão de cálculo), logo é mais crítica. A área de tensão para rosca ISO aproximada é dada por
A_{\text{rosca}}\approx \frac{\pi}{4}\bigl(d-0{,}9382\,p\bigr)^{2},
onde p é o passo da rosca (para rosca grossa: p_{\mathrm{M14}}=2{,}0\\ \mathrm{mm}). Fazendo a conta rápida para \mathrm{M14}:
d-0{,}9382\,p = 14 - 0{,}9382\cdot 2 = 12{,}1236\\ \mathrm{mm},
A_{\text{rosca,M14}}\approx \frac{\pi}{4}(12{,}1236\times10^{-3})^{2}\approx 1{,}1556\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}.
Se o cisalhamento ocorresse nessa área:
\tau = \frac{12{,}000}{1{,}1556\times10^{-4}}\approx 103{,}9\\ \mathrm{MPa},
ou seja, ligeiramente acima de \tau_{\text{adm}}=100\\ \mathrm{MPa}. Conclusão: se a superfície de cisalhamento ficar na rosca, \mathrm{M14} não é suficiente; seria necessário adotar o próximo tamanho comercial \mathrm{M16} ou garantir que a linha de cisalhamento corte a parte lisa do parafuso (projeto que posicione a porca/arruela fora da rosca).
Verificação rápida para \mathrm{M16} (caso de cisalhamento na rosca, com p=2{,}0\\ \mathrm{mm}):
d-0{,}9382\,p = 16 - 1{,}8764 = 14{,}1236\\ \mathrm{mm},
A_{\text{rosca,M16}}\approx \frac{\pi}{4}(0{,}0141236)^{2}\approx 1{,}5686\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}},
\tau_{\mathrm{M16}}=\frac{12{,}000}{1{,}5686\times10^{-4}}\approx 76{,}5\\ \mathrm{MPa}<100\\ \mathrm{MPa}.
Portanto \mathrm{M16} seria seguro mesmo se o cisalhamento passar pela rosca.

Passo 7

Resumo e recomendação prática (curto e direto para a prova).
  • Força por parafuso: metade da carga total.
  • Diâmetro mínimo calculado usando área circular do eixo.
  • Escolha comercial: \mathrm{M14} é adequada se o cisalhamento ocorrer na parte lisa do eixo; caso a linha de cisalhamento passe pela rosca, escolher \mathrm{M16} para satisfazer a tensão admissível.

Resposta

a) F_{\text{por parafuso}}=12\\ \mathrm{kN}.
b) d_{\min}\approx 12{,}36\\ \mathrm{mm}.
c) Parafuso comercial sugerido: \mathrm{M14} (se o cisalhamento ocorrer na parte lisa do eixo); caso a linha de cisalhamento passe pela rosca, usar \mathrm{M16}.

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