2.71 Sabendo que a tração no cabo A C é 1.920 N , determine as componentes da força exercida na placa em C.

Passo 1

O enunciado pede: determinar as componentes da força exercida na placa em C, sabendo que a tração no cabo AC é 1{.}920\\ \text{N}. Informação fornecida no enunciado: a magnitude da tração em AC é T=1{.}920\\ \text{N}. Informação que falta (necessária para calcular componentes): a direção do cabo AC (ou seja, coordenadas dos pontos A e C, ou os ângulos que a linha AC faz com os eixos). Observação importante: o enunciado que você mandou não contém figura nem coordenadas nem ângulos. Sem esses dados geométricos não é possível obter as componentes numéricas da força em C. Não inventarei a figura nem os valores — preciso dos dados geométricos reais para dar números.

Passo 2

Entendendo fisicamente o que precisamos calcular (sem resolver ainda): a tração T no cabo produz, na placa em C, uma força de mesma magnitude T dirigida ao longo do cabo, apontando de C para A (a reação sobre a placa tem direção do cabo, sentido para A). Para obter as componentes cartesianas dessa força precisamos conhecer a direção do cabo em termos de um vetor unitário. Em resumo, a força vetorial em C é:
\vec{F} = T\,\hat{u}_{CA},
onde \hat{u}_{CA} é o vetor unitário que aponta de C para A. O que falta são os dados para construir \hat{u}_{CA}.

Passo 3

Como obter o vetor unitário \hat{u}_{CA} se tivéssemos coordenadas: suponha que as posições dos pontos sejam dadas pelos vetores posição
\vec{r}_A = (x_A,y_A,z_A),\qquad \vec{r}_C = (x_C,y_C,z_C).
O vetor que vai de C para A é
\vec{r}_{CA} = \vec{r}_A - \vec{r}_C = (x_A-x_C,\;y_A-y_C,\;z_A-z_C).
O comprimento (módulo) desse vetor é
\lVert \vec{r}_{CA}\rVert = \sqrt{(x_A-x_C)^2+(y_A-y_C)^2+(z_A-z_C)^2}.
O vetor unitário na direção C\to A é
\hat{u}_{CA}=\frac{\vec{r}_{CA}}{\lVert \vec{r}_{CA}\rVert}=\left(\frac{x_A-x_C}{\lVert \vec{r}_{CA}\rVert},\;\frac{y_A-y_C}{\lVert \vec{r}_{CA}\rVert},\;\frac{z_A-z_C}{\lVert \vec{r}_{CA}\rVert}\right).
Então as componentes da força em C (força exercida pela corda na placa) são
F_x = T\cdot\frac{x_A-x_C}{\lVert \vec{r}_{CA}\rVert},\qquad F_y = T\cdot\frac{y_A-y_C}{\lVert \vec{r}_{CA}\rVert},\qquad F_z = T\cdot\frac{z_A-z_C}{\lVert \vec{r}_{CA}\rVert}.
Aqui T=1{.}920\\ \text{N}. Explicando cada símbolo: x_A é a coordenada x do ponto A, x_C a coordenada x do ponto C, e análogos para y e z; \lVert\vec{r}_{CA}\rVert é a distância entre C e A.

Passo 4

Se, em vez de coordenadas, o enunciado desse os ângulos entre o cabo e os eixos x,y,z, podemos usar cosenos diretores: se os ângulos entre a linha CA e os eixos x,y,z forem \alpha,\beta,\gamma, então os cosenos diretores são \cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma e as componentes seriam
F_x = T\cos\alpha,\qquad F_y = T\cos\beta,\qquad F_z = T\cos\gamma.
Relembrando: os cosenos diretores satisfazem \cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1. Então, de novo, precisamos de \alpha,\beta,\gamma numéricos para obter valores.

Passo 5

Exemplo numérico ilustrativo (apenas para ver o procedimento, NÃO é a solução do enunciado porque as coordenadas reais não foram dadas): suponha \vec{r}_A=(2,3,0) e \vec{r}_C=(0,0,0). Então
\vec{r}_{CA}=(2,3,0),\qquad \lVert\vec{r}_{CA}\rVert=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}.
O vetor unitário é \hat{u}_{CA}=\left(\dfrac{2}{\sqrt{13}},\dfrac{3}{\sqrt{13}},0\right). Com T=1{.}920\\ \text{N},
\vec{F}=1{.}920\left(\dfrac{2}{\sqrt{13}},\dfrac{3}{\sqrt{13}},0\right)=\left(\dfrac{3{.}840}{\sqrt{13}},\dfrac{5{.}760}{\sqrt{13}},0\right)\\ \text{N}.
Se você quiser aproximações decimais, \sqrt{13}\approx3{.}606 e daí F_x\approx1{.}064\times10^3\\ \text{N}, F_y\approx1{.}596\times10^3\\ \text{N}. Mas isto é só um exemplo de método.

Passo 6

Conclusão prática para o seu exercício: com apenas a informação "tração no cabo AC é 1{.}920\\ \text{N}" não há dados suficientes para fornecer as componentes numéricas da força em C. Para eu calcular numericamente as componentes você precisa me fornecer um dos seguintes conjuntos de dados reais do problema:
  1. as coordenadas de A e C (por exemplo x_A,y_A,z_A e x_C,y_C,z_C); ou
  2. os ângulos \alpha,\beta,\gamma que o cabo faz com os eixos; ou
  3. a figura com escala e as medidas angulares/linhas indicadas.
Se você me enviar qualquer uma dessas informações eu aplico imediatamente o procedimento acima e calculo os componentes numéricos passo a passo.

Resposta

Não é possível determinar numericamente as componentes da força em C porque faltam os dados geométricos (coordenadas de A e C ou ângulos). Em geral, as componentes são
F_x = T\cdot\frac{x_A-x_C}{\sqrt{(x_A-x_C)^2+(y_A-y_C)^2+(z_A-z_C)^2}},
F_y = T\cdot\frac{y_A-y_C}{\sqrt{(x_A-x_C)^2+(y_A-y_C)^2+(z_A-z_C)^2}},
F_z = T\cdot\frac{z_A-z_C}{\sqrt{(x_A-x_C)^2+(y_A-y_C)^2+(z_A-z_C)^2}},
com T=1{.}920\\ \text{N}.

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