Questão 1 ( 3 pontos) A partícula P move ao longo da curva \mathrm{R}=4+2 \sin \theta[\mathrm{~m}]. Sabendo-se que \dot{\theta}=2 \mathrm{rad} / \mathrm{s} (constante), determine as componentes polares da velocidade e aceleração do ponto P quando ele estiver no ponto A.
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (identificação clara):
Dado: a distância radial da partícula é \;R(\theta)=4+2\sin\theta\;[\text{m}].
Dado: \;\dot{\theta}=2\;\text{rad/s} (constante).
Observação da imagem: o ponto A está sobre o eixo positivo x e coincide com R=4. Portanto, no ponto A temos \theta=0 e, usando a fórmula, \;R(0)=4+2\sin0=4 (confirmei esse valor olhando a figura).
Pedido: determinar as componentes polares da velocidade e da aceleração da partícula P quando ela está no ponto A.
Ou seja, quer-se v_r e v_\theta (componentes da velocidade em coordenadas polares) e a_r e a_\theta (componentes da aceleração em coordenadas polares) avaliadas em \theta=0.
Passo 2
Fórmulas básicas em coordenadas polares (aulas rápidas e intuitivas):
A representação da velocidade em coordenadas polares é
Explanação curta: a aceleração radial tem contribuição da segunda derivada radial e também da “centrífuga” -R\dot{\theta}^2; a componente transversal tem contribuição do acoplamento entre variação radial e rotação (2\dot{R}\dot{\theta}) e da variação angular (R\ddot{\theta}).
Passo 3
Como calcular \dot{R} e \ddot{R} quando R é função de \theta e \theta=\theta(t) (regra da cadeia):
Regra da cadeia: \dot{R}=\dfrac{dR}{dt}=\dfrac{dR}{d\theta}\,\dot{\theta}.
Segunda derivada: \ddot{R}=\dfrac{d^2R}{dt^2}=\dfrac{d^2R}{d\theta^2}\,\dot{\theta}^2 + \dfrac{dR}{d\theta}\,\ddot{\theta}.
Aqui \ddot{\theta}=0 porque \dot{\theta} é constante (dado). Então \ddot{R}=(d^2R/d\theta^2)\,\dot{\theta}^2.
Passo 4
Calcular as derivadas de R(\theta)=4+2\sin\theta em função de \theta:
Primeira derivada em relação a \theta:
\dfrac{dR}{d\theta}=2\cos\theta.
Segunda derivada em relação a \theta:
\dfrac{d^2R}{d\theta^2}=-2\sin\theta.
Passo 5
Avaliar as derivadas e quantidades em \theta=0 (ponto A), usando \dot{\theta}=2\;\text{rad/s}:
Interpretação rápida: a_r<0 significa aceleração apontando para dentro (centrípeta maior que a aceleração radial direta), e a_\theta>0 mostra uma componente tangencial positiva (aumenta a velocidade tangencial quando \dot{\theta} permanece constante mas R cresce naquele instante).