Questão 1 ( 3 pontos) A partícula P move ao longo da curva \mathrm{R}=4+2 \sin \theta[\mathrm{~m}]. Sabendo-se que \dot{\theta}=2 \mathrm{rad} / \mathrm{s} (constante), determine as componentes polares da velocidade e aceleração do ponto P quando ele estiver no ponto A.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (identificação clara):
  • Dado: a distância radial da partícula é \;R(\theta)=4+2\sin\theta\;[\text{m}].
  • Dado: \;\dot{\theta}=2\;\text{rad/s} (constante).
  • Observação da imagem: o ponto A está sobre o eixo positivo x e coincide com R=4. Portanto, no ponto A temos \theta=0 e, usando a fórmula, \;R(0)=4+2\sin0=4 (confirmei esse valor olhando a figura).
  • Pedido: determinar as componentes polares da velocidade e da aceleração da partícula P quando ela está no ponto A.
    • Ou seja, quer-se v_r e v_\theta (componentes da velocidade em coordenadas polares) e a_r e a_\theta (componentes da aceleração em coordenadas polares) avaliadas em \theta=0.

Passo 2

Fórmulas básicas em coordenadas polares (aulas rápidas e intuitivas):
  • A representação da velocidade em coordenadas polares é
\mathbf{v}=\dot{R}\,\hat{e}_r + R\dot{\theta}\,\hat{e}_\theta,
onde:
  • \hat{e}_r é o versor radial (aponta para fora),
  • \hat{e}_\theta é o versor transversal (aponta no sentido crescente de \theta),
  • \dot{R}=dR/dt é a velocidade radial,
  • R\dot{\theta} é a componente tangencial devido à variação angular.
  • A aceleração em coordenadas polares é
\mathbf{a}=(\ddot{R}-R\dot{\theta}^2)\,\hat{e}_r + (R\ddot{\theta}+2\dot{R}\dot{\theta})\,\hat{e}_\theta.
Explanação curta: a aceleração radial tem contribuição da segunda derivada radial e também da “centrífuga” -R\dot{\theta}^2; a componente transversal tem contribuição do acoplamento entre variação radial e rotação ( 2\dot{R}\dot{\theta}) e da variação angular (R\ddot{\theta}).

Passo 3

Como calcular \dot{R} e \ddot{R} quando R é função de \theta e \theta=\theta(t) (regra da cadeia):
  • Regra da cadeia: \dot{R}=\dfrac{dR}{dt}=\dfrac{dR}{d\theta}\,\dot{\theta}.
  • Segunda derivada: \ddot{R}=\dfrac{d^2R}{dt^2}=\dfrac{d^2R}{d\theta^2}\,\dot{\theta}^2 + \dfrac{dR}{d\theta}\,\ddot{\theta}.
    • Aqui \ddot{\theta}=0 porque \dot{\theta} é constante (dado). Então \ddot{R}=(d^2R/d\theta^2)\,\dot{\theta}^2.

Passo 4

Calcular as derivadas de R(\theta)=4+2\sin\theta em função de \theta:
  • Primeira derivada em relação a \theta:
\dfrac{dR}{d\theta}=2\cos\theta.
  • Segunda derivada em relação a \theta:
\dfrac{d^2R}{d\theta^2}=-2\sin\theta.

Passo 5

Avaliar as derivadas e quantidades em \theta=0 (ponto A), usando \dot{\theta}=2\;\text{rad/s}:
  • \theta=0 implica \sin0=0,\;\cos0=1.
  • R(0)=4+2\sin0=4 (confirmação).
  • \dfrac{dR}{d\theta}\Big|_{\theta=0}=2\cos0=2.
  • \dfrac{d^2R}{d\theta^2}\Big|_{\theta=0}=-2\sin0=0.
  • Agora \dot{R}=\dfrac{dR}{d\theta}\,\dot{\theta}=2\cdot 2=4\;\text{m/s}.
  • E \ddot{R}=\dfrac{d^2R}{d\theta^2}\,\dot{\theta}^2=0\cdot(2)^2=0\;\text{m/s}^2.

Passo 6

Calcular componentes da velocidade em A:
  • Componente radial da velocidade:
v_r=\dot{R}=4\;\text{m/s}.
  • Componente transversal (angular) da velocidade:
v_\theta=R\dot{\theta}=4\cdot 2=8\;\text{m/s}.
  • Então, em forma vetorial polar:
\mathbf{v}=4\,\hat{e}_r + 8\,\hat{e}_\theta\quad[\text{m/s}].

Passo 7

Calcular componentes da aceleração em A:
  • Usando \ddot{R}=0,\;R=4,\;\dot{\theta}=2,\;\ddot{\theta}=0,\;\dot{R}=4:
    • Componente radial:
    a_r=\ddot{R}-R\dot{\theta}^2 = 0 - 4\cdot(2)^2 = -16\;\text{m/s}^2.
    • Componente transversal:
    a_\theta=R\ddot{\theta}+2\dot{R}\dot{\theta} = 0 + 2\cdot 4\cdot 2 = 16\;\text{m/s}^2.
  • Então, em forma vetorial polar:
\mathbf{a} = -16\,\hat{e}_r + 16\,\hat{e}_\theta\quad[\text{m/s}^2].
Interpretação rápida: a_r<0 significa aceleração apontando para dentro (centrípeta maior que a aceleração radial direta), e a_\theta>0 mostra uma componente tangencial positiva (aumenta a velocidade tangencial quando \dot{\theta} permanece constante mas R cresce naquele instante).

Resposta

\displaystyle \mathbf{v}=4\,\hat{e}_r + 8\,\hat{e}_\theta\;[\text{m/s}]
\displaystyle \mathbf{a}=-16\,\hat{e}_r + 16\,\hat{e}_\theta\;[\text{m/s}^2]

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