Determine o ângulo ø que vai maximizar o momento M da força de 200 N em relação ao eixo em O . Qual é o valor de M correspondente?
Passo 1
O enunciado fornece a força de
e pede duas coisas: (1) o ângulo
que maximiza o momento
dessa força em relação ao eixo em
e (2) o valor do momento correspondente.
Informações relevantes dadas: a força tem módulo .
Informações necessárias que não foram fornecidas (figura/descrição ausente): a posição do ponto de aplicação da força em relação a — em particular o braço de momento (distância) ou o vetor posição
. Sem essa distância não é possível calcular um valor numérico para
. Portanto, vou (i) explicar passo a passo como se calcula o momento e como se determina o ângulo que o maximiza e (ii) expressar o valor máximo de
em função da distância (ou do módulo de
), porque essa distância não foi informada.
Informações relevantes dadas: a força tem módulo
Informações necessárias que não foram fornecidas (figura/descrição ausente): a posição do ponto de aplicação da força em relação a
Passo 2
O que é momento em termos práticos e a fórmula que vamos usar.
O momento (ou momento de força) em relação a um ponto mede a tendência da força de girar o corpo em torno desse ponto. Matematicamente, o momento vetorial é o produto vetorial entre o vetor posição
(do ponto
até o ponto de aplicação da força) e o vetor força
:
O momento (ou momento de força) em relação a um ponto
O módulo do momento é dado por
onde
é o ângulo entre
e
. Aqui:
-
é a distância (braço de momento) do ponto até a linha de ação da força (ou até o ponto de aplicação quando usado diretamente), -
é o módulo da força (aqui ), -
captura a componente da força que é perpendicular ao vetor .
Explicando intuitivamente: só a componente da força perpendicular à linha que liga
ao ponto de aplicação contribui para o giro; a componente paralela não causa giro.
Passo 3
Relacionando com o ângulo
pedido.
Normalmente, em problemas como esse, o ângulo refere-se ao ângulo entre a linha que liga
ao ponto de aplicação (vetor
) e a direção da força
. Vou adotar essa interpretação (se a figura original definia
de outra forma, a conclusão precisa ser adaptada). Com essa interpretação temos:
Normalmente, em problemas como esse, o ângulo
Substituindo
obtemos
Passo 4
Como encontrar o ângulo que maximiza
.
Aqui o único termo dependente de é
. Sabemos que a função seno tem máximo igual a
, que ocorre quando
(ou
). Portanto,
é maximizado quando
Aqui o único termo dependente de
Nenhum cálculo com derivadas complicadas é necessário: estamos maximizando um produto por
, e o máximo do seno é conhecido.
Passo 5
Valor do momento máximo em função da distância
.
Substituindo em
temos o momento máximo:
Substituindo
Em unidades, se
estiver em metros, então
Passo 6
Comentários finais e o que falta para obter um valor numérico.
- Conclusão sobre o ângulo: o momento é máximo quando a força é aplicada perpendicularmente ao vetor posição, ou seja
. - Para obter um número concreto para
é obrigatório conhecer (a distância do eixo em ao ponto de aplicação). Como essa distância não foi informada no enunciado fornecido, não posso dar um valor numérico final; apenas a expressão em função de acima. - Se você me informar a distância (por exemplo
ou qualquer outro valor), eu já calculo o numérico imediatamente.