Determine o ângulo ø que vai maximizar o momento M da força de 200 N em relação ao eixo em O . Qual é o valor de M correspondente?

Passo 1

O enunciado fornece a força de 200\\ \mathrm{N} e pede duas coisas: (1) o ângulo \varphi que maximiza o momento M dessa força em relação ao eixo em O e (2) o valor do momento correspondente.
Informações relevantes dadas: a força tem módulo 200\\ \mathrm{N}.
Informações necessárias que não foram fornecidas (figura/descrição ausente): a posição do ponto de aplicação da força em relação a O — em particular o braço de momento (distância) ou o vetor posição \mathbf{r}. Sem essa distância não é possível calcular um valor numérico para M. Portanto, vou (i) explicar passo a passo como se calcula o momento e como se determina o ângulo que o maximiza e (ii) expressar o valor máximo de M em função da distância (ou do módulo de \mathbf{r}), porque essa distância não foi informada.

Passo 2

O que é momento em termos práticos e a fórmula que vamos usar.
O momento (ou momento de força) em relação a um ponto O mede a tendência da força de girar o corpo em torno desse ponto. Matematicamente, o momento vetorial é o produto vetorial entre o vetor posição \mathbf{r} (do ponto O até o ponto de aplicação da força) e o vetor força \mathbf{F}:
\mathbf{M} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}.
O módulo do momento é dado por
M = \|\mathbf{M}\| = \|\mathbf{r}\|\,\|\mathbf{F}\|\,\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre \mathbf{r} e \mathbf{F}. Aqui:
  • \|\mathbf{r}\| é a distância (braço de momento) do ponto O até a linha de ação da força (ou até o ponto de aplicação quando usado diretamente),
  • \|\mathbf{F}\| é o módulo da força (aqui 200\\ \mathrm{N}),
  • \sin\theta captura a componente da força que é perpendicular ao vetor \mathbf{r}.
Explicando intuitivamente: só a componente da força perpendicular à linha que liga O ao ponto de aplicação contribui para o giro; a componente paralela não causa giro.

Passo 3

Relacionando com o ângulo \varphi pedido.
Normalmente, em problemas como esse, o ângulo \varphi refere-se ao ângulo entre a linha que liga O ao ponto de aplicação (vetor \mathbf{r}) e a direção da força \mathbf{F}. Vou adotar essa interpretação (se a figura original definia \varphi de outra forma, a conclusão precisa ser adaptada). Com essa interpretação temos:
M(\varphi)=\|\mathbf{r}\|\,\|\mathbf{F}\|\,\sin\varphi.
Substituindo \|\mathbf{F}\|=200\\ \mathrm{N} obtemos
M(\varphi)=\|\mathbf{r}\|\cdot 200\\ \sin\varphi.

Passo 4

Como encontrar o ângulo que maximiza M(\varphi).
Aqui o único termo dependente de \varphi é \sin\varphi. Sabemos que a função seno tem máximo igual a 1, que ocorre quando \varphi=90^\circ (ou \varphi=\tfrac{\pi}{2}\\ \mathrm{rad}). Portanto, M(\varphi) é maximizado quando
\varphi = 90^\circ.
Nenhum cálculo com derivadas complicadas é necessário: estamos maximizando um produto por \sin\varphi, e o máximo do seno é conhecido.

Passo 5

Valor do momento máximo em função da distância \|\mathbf{r}\|.
Substituindo \sin\varphi=1 em M(\varphi) temos o momento máximo:
M_{\max}=\|\mathbf{r}\|\cdot 200.
Em unidades, se \|\mathbf{r}\| estiver em metros, então
M_{\max}=200\,\|\mathbf{r}\|\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 6

Comentários finais e o que falta para obter um valor numérico.
  • Conclusão sobre o ângulo: o momento é máximo quando a força é aplicada perpendicularmente ao vetor posição, ou seja \varphi=90^\circ.
  • Para obter um número concreto para M_{\max} é obrigatório conhecer \|\mathbf{r}\| (a distância do eixo em O ao ponto de aplicação). Como essa distância não foi informada no enunciado fornecido, não posso dar um valor numérico final; apenas a expressão em função de \|\mathbf{r}\| acima.
  • Se você me informar a distância (por exemplo \|\mathbf{r}\|=0{,}5\\ \mathrm{m} ou qualquer outro valor), eu já calculo o M_{\max} numérico imediatamente.

Resposta

\varphi=90^\circ
M_{\max}=200\,\|\mathbf{r}\|\\ \mathrm{N\cdot m}

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