58 Suponha que 1,0 \mathrm{~mol} de um gás monoatômico ideal inicialmente com 10 L e a 300 K seja aquecido a volume constante até 600 K , liberado para se expandir isotermicamente até a pressão inicial e, finalmente, contraído a pressão constante até os valores iniciais de volume, pressão e temperatura. Durante o ciclo, quais são (a) a energia líquida que entra no sistema (o gás) na forma de calor e (b) o trabalho líquido realizado pelo gás? (c) Qual é a eficiência do ciclo?

Passo 1

O enunciado descreve um ciclo termodinâmico de 1{,}0 mol de gás monoatômico ideal que passa por três processos em sequência:
– Aquecimento a volume constante de V_{1}=10,L e T_{1}=300,K até T_{2}=600,K.
– Expansão isotérmica a T_{2}=600,K até a pressão voltar ao valor inicial P_{1}.
– Compressão a pressão constante P_{1} até retornar aos valores iniciais de V_{1}, P_{1} e T_{1}.
Queremos calcular (a) o calor líquido recebido pelo gás, (b) o trabalho líquido realizado pelo gás e (c) a eficiência do ciclo. Usaremos R=8{,}314,J mol ^{-1},K ^{-1} e, para gás monoatômico, c_{V}=\tfrac{3}{2}R.

Passo 2

No aquecimento a volume constante ( V_{1}=V_{2}=10,L = 0{,}010,m³), o trabalho é zero e o calor é
Q_{1}=n\,c_{V}\,(T_{2}-T_{1}) =1\cdot\frac{3}{2}R\,(600-300) =\frac{3}{2}\cdot8{,}314\cdot300 \approx3{,}74\times10^{3}\,\text{J}.

Passo 3

Na expansão isotérmica a T_{2}=600,K, a pressão inicial é
P_{1}=\frac{nRT_{1}}{V_{1}} =\frac{1\cdot8{,}314\cdot300}{0{,}010} \approx2{,}49\times10^{5}\,\text{Pa},
e a pressão no fim do aquecimento ( P_{2}) vale o dobro de P_{1}. A expansão faz o volume dobrar de V_{2}=0{,}010,m³ para V_{3}=0{,}020,m³, e o trabalho (igual ao calor) é
W_{2}=Q_{2} =nRT_{2}\ln\!\bigl(\tfrac{V_{3}}{V_{2}}\bigr) =1\cdot8{,}314\cdot600\cdot\ln2 \approx3{,}46\times10^{3}\,\text{J}.

Passo 4

Na compressão a pressão constante P_{1} de V_{3}=0{,}020,m³ até V_{1}=0{,}010,m³, o trabalho realizado pelo gás é
W_{3}=P_{1}\,(V_{1}-V_{3}) =2{,}49\times10^{5}\,(0{,}010-0{,}020) \approx-2{,}49\times10^{3}\,\text{J}.
A variação de energia interna é
\Delta U_{3} =n\,c_{V}\,(T_{1}-T_{2}) =1\cdot\frac{3}{2}R\,(300-600) \approx-3{,}74\times10^{3}\,\text{J},
logo o calor trocado é
Q_{3}=\Delta U_{3}-W_{3} \approx -3{,}74\times10^{3}-(-2{,}49\times10^{3}) \approx -6{,}23\times10^{3}\,\text{J}.

Passo 5

O calor líquido recebido pelo gás é
Q_{\text{net}}=Q_{1}+Q_{2}+Q_{3} \approx3{,}74\times10^{3}+3{,}46\times10^{3}-6{,}23\times10^{3} \approx9,6\times10^{2}\,\text{J}.
O trabalho líquido realizado pelo gás é igual ao calor líquido (ciclo fechado),
W_{\text{net}}=Q_{\text{net}}\approx9,6\times10^{2}\,\text{J}.

Passo 6

A eficiência do ciclo é
\eta =\frac{W_{\text{net}}}{Q_{\text{in}}},
onde Q_{\text{in}}=Q_{1}+Q_{2}\approx7,20\times10^{3},J, então
\eta\approx\frac{9,6\times10^{2}}{7,20\times10^{3}} \approx0{,}134\;(13{,}4\%).

Resposta

(a) Q_{\text{net}}\approx9,6\times10^{2}\,\text{J}
(b) W_{\text{net}}\approx9,6\times10^{2}\,\text{J}
(c) \eta\approx0{,}134 (13,4 %)

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